Schrodinger-yhtälö on kvanttimekaniikan perustavanlaatuisin yhtälö, ja sen käytön ja sen merkityksen oppiminen on välttämätöntä kaikille aloitteleville fyysikoille. Yhtälö on nimetty Erwin Schrödingerin mukaan, joka voitti Nobel-palkinnon yhdessä Paul Diracin kanssa vuonna 1933 panoksestaan kvanttifysiikkaan.
Schrodingerin yhtälö kuvaa kvanttimekaanisen järjestelmän aaltofunktion, joka antaa todennäköisyystietoja hiukkasen sijainnista ja muista havaittavista suuruuksista, kuten sen vauhtia. Tärkein asia, jonka huomaat kvanttimekaniikasta saatuasi tietoa yhtälöstä, on se, että kvanttialueella olevat lait ovathyvin erilainenkuin klassisen mekaniikan.
Aaltotoiminto
Aaltofunktio on yksi kvanttimekaniikan tärkeimmistä käsitteistä, koska jokaista hiukkasia edustaa aaltofunktio. Sille annetaan tyypillisesti kreikkalainen kirjain psi (Ψ), ja se riippuu sijainnista ja ajasta. Kun sinulla on lauseke hiukkasen aaltofunktiolle, se kertoo kaiken, mistä voi tietää fyysinen järjestelmä ja havaittavien määrien erilaiset arvot voidaan saada käyttämällä operaattoria se.
Aaltofunktion moduulin neliö kertoo todennäköisyyden löytää hiukkanen sijainnistaxtiettynä ajankohtanat. Näin on vain, jos funktio on "normalisoitu", mikä tarkoittaa, että neliömoduulin summan kaikkien mahdollisten sijaintien on oltava yhtä suuri kuin 1, ts. Että hiukkanen onvarmatulla paikallistetuksijonnekin.
Huomaa, että aaltofunktio antaa vain todennäköisyysinformaatiota, joten et voi ennustaa yhden havainnon tulosta, vaikka sinäkinvoimäärittää keskiarvo monista mittauksista.
Voit käyttää aaltofunktiota laskemaan"Odotusarvo"hiukkasen sijainnista kerrallaant, odotusarvon ollessa keskimääräinen arvoxsaisit, jos toistat mittauksen monta kertaa.
Jälleen tämä ei kerro sinulle mitään tietystä mittauksesta. Itse asiassa aaltofunktio on pikemminkin yhden partikkelin todennäköisyysjakauma kuin mikään konkreettinen ja luotettava. Käyttämällä asianmukaista operaattoria voit myös saada odotusarvot liikemäärälle, energialle ja muille havaittaville määrille.
Schrodinger-yhtälö
Schrodinger-yhtälö on lineaarinen osittainen differentiaaliyhtälö, joka kuvaa a: n evoluutiota kvanttitila samalla tavalla kuin klassisen Newtonin lait (erityisesti toinen laki) mekaniikka.
Schrodinger-yhtälö on kuitenkin aaltoyhtälö kyseisen hiukkasen aaltofunktiolle, joten yhtälön käyttö ennustaa tulevaa tilaa järjestelmän järjestelmää kutsutaan joskus "aaltomekaniikaksi". Itse yhtälö johtuu energiansäästöstä ja on rakennettu operaattorin ympärille Hamiltonian.
Yksinkertaisin muoto kirjoittaa Schrodinger-yhtälö on:
H Ψ = iℏ \ frac {\ osittainen} {\ osittainen t}
Missä ℏ on pelkistetty Planckin vakio (ts. Vakio jaettuna 2π: llä) jaHon Hamiltonin operaattori, joka vastaa kvanttijärjestelmän potentiaalienergian ja kineettisen energian (kokonaisenergian) summaa. Hamiltonilainen on kuitenkin melko pitkä lauseke, joten koko yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partitali ^ 2 Ψ} {\ osittainen x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ osavaltio} {\ osi
Huomaa, että joskus (nimenomaisesti kolmiulotteisten ongelmien vuoksi) ensimmäinen osittainen johdannainen kirjoitetaan Laplacian operaattorina ∇2. Pohjimmiltaan Hamiltonin toimiva aaltofunktio kuvaa sen evoluution avaruudessa ja ajassa. Mutta yhtälön ajasta riippumattomassa versiossa (ts. Kun järjestelmä ei ole riippuvainent), Hamiltonin antaa järjestelmän energian.
Schrodinger-yhtälön ratkaiseminen tarkoittaakvanttimekaaninen aaltofunktiose tyydyttää sitä tietyssä tilanteessa.
Aikariippuvainen Schrodinger-yhtälö
Aikariippuvainen Schrodinger-yhtälö on edellisen osan versio, ja se kuvaa hiukkasen aaltofunktion evoluutiota ajassa ja tilassa. Yksinkertainen harkittava tapaus on vapaa hiukkanen, koska potentiaalinen energiaV= 0, ja ratkaisu on tasoaallon muotoinen. Näillä ratkaisuilla on muoto:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Missäk = 2π / λ, λon aallonpituus jaω = E / ℏ.
Muissa tilanteissa alkuperäisen yhtälön potentiaalienergiaosa kuvaa raja-ehdot spatiaalinen osa aaltofunktiota, ja se erotetaan usein aika-evoluutiofunktioksi ja ajasta riippumattomaksi yhtälö.
Aikariippumaton Schrodinger-yhtälö
Staattisissa tilanteissa tai ratkaisuissa, jotka muodostavat seisovia aaltoja (kuten potentiaalikaivo, "partikkeli laatikossa" -tyyppiset ratkaisut), voit erottaa aaltofunktion aika- ja avaruusosiksi:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Kun käydään läpi tämä kokonaisuudessaan, aikaosa voidaan peruuttaa jättämällä Schrodinger-yhtälön muotovainriippuu hiukkasen sijainnista. Aikariippumaton aaltofunktio annetaan sitten:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
TässäEon kvanttimekaanisen järjestelmän energia jaHon Hamiltonin operaattori. Tämä yhtälömuoto on tarkka ominaisarvoyhtälön muoto, aaltofunktion kanssa on ominaisfunktio ja energia on ominaisarvo, kun Hamiltonin operaattoria käytetään siihen. Laajentamalla Hamiltonin sanaa selkeämmäksi muodoksi, se voidaan kirjoittaa kokonaisuudessaan seuraavasti:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ osittainen ^ 2 Ψ} {\ osittainen x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Yhtälön aikaosa sisältyy funktioon:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Ratkaisut ajasta riippumattomaan Schrodinger-yhtälöön
Aikariippumaton Schrodinger-yhtälö soveltuu hyvin melko suoraviivaisiin ratkaisuihin, koska se leikkaa yhtälön koko muodon. Täydellinen esimerkki tästä on "partikkeli laatikossa" -ryhmä ratkaisuja, joissa partikkelin oletetaan olevan äärettömässä neliöpotentiaalissa yhdessä ulottuvuudessa, joten potentiaalia on nolla (ts.V= 0) koko ajan, eikä ole mahdollisuutta, että hiukkanen löydy kaivon ulkopuolelta.
On myös rajallinen neliön muotoinen kaivo, jossa potentiaali kaivon "seinillä" ei ole rajaton, ja vaikka se olisi korkeampi kuin hiukkasen energia, siellä onjonkin verranmahdollisuus löytää hiukkanen sen ulkopuolelta kvanttitunneloinnin vuoksi. Ääretöntä potentiaalikaivoa varten ratkaisut ovat muotoa:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
MissäLon kaivon pituus.
Delta-funktion potentiaali on hyvin samanlainen käsite potentiaalikaivoon lukuun ottamatta leveyttäLmenee nollaan (eli on äärettömän pieni yhden pisteen ympärillä) ja kaivon syvyys menee äärettömään, kun taas näiden kahden tulo (U0) pysyy vakiona. Tässä hyvin idealisoidussa tilanteessa on vain yksi sidottu tila, jonka antaa:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Energian avulla:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Vetyatomiliuos Schrodinger-yhtälöön
Lopuksi vetyatomiliuoksella on ilmeisiä sovelluksia reaalimaailman fysiikkaan, mutta käytännössä tilanne elektronin vetyatomin ytimen ympärillä voidaan nähdä melko samanlaisena kuin potentiaalikaivossa ongelmia. Tilanne on kuitenkin kolmiulotteinen ja se kuvataan parhaiten pallomaisissa koordinaateissar, θ, ϕ. Ratkaisun tässä tapauksessa antaa:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
MissäPovat Legendren polynomeja,Rovat erityisiä säteittäisiä ratkaisuja jaNon vakio, jonka korjaat käyttämällä sitä, että aaltofunktio tulisi normalisoida. Yhtälö tuottaa energiatasot, jotka saadaan:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
MissäZtässä on atomiluku (niinZ= 1 vetyatomille),etässä tapauksessa on elektronin varaus (vakion sijasta)e = 2.7182818...), ϵ0 on vapaan tilan läpäisevyys jaμon pelkistetty massa, joka perustuu protonin ja elektronin massaan vetyatomissa. Tämä ilmaisu on hyvä kaikille vedyn kaltaisille atomille, mikä tarkoittaa mitä tahansa tilannetta (mukaan lukien ionit), jossa on yksi elektroni, joka kiertää keskushermoa.