Algebrassa numerosekvenssit ovat arvokkaita tutkimaan mitä tapahtuu, kun jokin muuttuu suuremmaksi tai pienemmäksi. Aritmeettinen sekvenssi määritetään yhteisen eron avulla, joka on yhden ja seuraavan sarjan välinen ero. Aritmeettisten sekvenssien osalta tämä ero on vakioarvo ja voi olla positiivinen tai negatiivinen. Tämän seurauksena aritmeettinen sarja kasvaa tai pienenee kiinteällä määrällä aina, kun uusi numero lisätään luetteloon, joka muodostaa sekvenssin.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Aritmeettinen sekvenssi on luettelo numeroista, joissa peräkkäiset termit eroavat vakiomäärällä, yhteisellä erolla. Kun yhteinen ero on positiivinen, sekvenssi kasvaa jatkuvasti kiinteällä määrällä, kun taas jos se on negatiivinen, sekvenssi pienenee. Muita yleisiä sekvenssejä ovat geometrinen sekvenssi, jossa termit eroavat yhteisellä tekijällä, ja Fibonacci-sekvenssi, jossa kukin luku on kahden edellisen luvun summa.
Kuinka aritmeettinen sekvenssi toimii
Aritmeettinen sekvenssi määritetään aloitusnumerolla, yhteisellä erolla ja sekvenssin termien lukumäärällä. Esimerkiksi aritmeettinen sekvenssi, joka alkaa 12: lla, yhteinen ero 3: lla ja viidellä termillä on 12, 15, 18, 21, 24. Esimerkki laskevasta sekvenssistä on yksi, joka alkaa numerosta 3, yhteinen ero −2 ja kuusi termiä. Tämä jakso on 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Aritmeettisilla sekvensseillä voi olla myös ääretön määrä termejä. Esimerkiksi yllä oleva ensimmäinen sekvenssi, jolla on ääretön määrä termejä, olisi 12, 15, 18,... ja tämä jakso jatkuu äärettömyyteen.
Aritmeettinen keskiarvo
Aritmeettisella sekvenssillä on vastaava sarja, joka lisää kaikki jakson ehdot. Kun termit lisätään ja summa jaetaan termien lukumäärällä, tulos on aritmeettinen keskiarvo tai keskiarvo. Aritmeettisen keskiarvon kaava on
\ text {mean} = \ frac {\ text {summa} n \ text {termit}} {n}
Nopea tapa laskea aritmeettisen sekvenssin keskiarvo on käyttää havaintoa, kun ensimmäinen ja viimeinen termit lisätään, summa on sama kuin silloin, kun toinen ja viimeinen termi lisätään tai kolmas ja kolmas viimeinen ehdot. Seurauksena on, että sekvenssin summa on ensimmäisen ja viimeisen termin summa kertaa puolet termien lukumäärästä. Keskiarvon saamiseksi summa jaetaan termien lukumäärällä, joten aritmeettisen sekvenssin keskiarvo on puolet ensimmäisen ja viimeisen termin summasta. Sillänehdota1 ettäan, vastaava kaava keskiarvolle m on
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
Äärettömillä aritmeettisilla sekvensseillä ei ole viimeistä termiä, ja siksi niiden keskiarvo on määrittelemätön. Sen sijaan osittaisen summan keskiarvo voidaan löytää rajoittamalla summa tiettyyn määrään termejä. Siinä tapauksessa osittainen summa ja sen keskiarvo voidaan löytää samalla tavalla kuin ei-äärettömälle sekvenssille.
Muita sekvenssityyppejä
Numerosarjat perustuvat usein kokeiden havaintoihin tai luonnonilmiöiden mittauksiin. Tällaiset sekvenssit voivat olla satunnaisia lukuja, mutta usein ne osoittavat olevan aritmeettisia tai muita järjestettyjä numeroluetteloita.
Esimerkiksi geometriset sekvenssit eroavat aritmeettisista sekvensseistä, koska niillä on pikemminkin yhteinen tekijä kuin yhteinen ero. Sen sijaan, että jokaiselle uudelle termille lisätään tai vähennetään numero, luku kerrotaan tai jaetaan joka kerta, kun uusi termi lisätään. Sarja, joka on 10, 12, 14,... aritmeettisena jaksona, jonka yhteinen ero on 2, tulee 10, 20, 40,... geometrisena sekvenssinä, jonka yhteinen kerroin on 2.
Muut jaksot noudattavat täysin erilaisia sääntöjä. Esimerkiksi Fibonacci-sekvenssitermit muodostetaan lisäämällä kaksi edellistä lukua. Sen järjestys on 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Termit on lisättävä erikseen osittaisen summan saamiseksi, koska ensimmäisen ja viimeisen termin nopea lisääminen ei toimi tässä järjestyksessä.
Aritmeettiset sekvenssit ovat yksinkertaisia, mutta niillä on tosielämän sovelluksia. Jos aloituskohta tiedetään ja yhteinen ero löytyy, voidaan laskea sarjan arvo tietyssä tulevaisuuden pisteessä ja määrittää myös keskiarvo.