Matematiikassa sekvenssi on mikä tahansa numerosarja, joka on järjestetty kasvavassa tai laskevassa järjestyksessä. Sarjasta tulee geometrinen sekvenssi, kun pystyt hankkimaan jokaisen luvun kertomalla edellisen luvun yhteisellä kertoimella. Esimerkiksi sarjat 1, 2, 4, 8, 16... on geometrinen sekvenssi, jolla on yhteinen kerroin 2. Jos kerrot minkä tahansa sarjan numeron kahdella, saat seuraavan numeron. Sitä vastoin sekvenssi 2, 3, 5, 8, 14, 22... ei ole geometrinen, koska numeroiden välillä ei ole yhteistä tekijää. Geometrisellä sekvenssillä voi olla murtolukuinen yhteinen tekijä, jolloin kukin peräkkäinen luku on pienempi kuin sitä edeltävä luku. 1, 1/2, 1/4, 1/8... on esimerkki. Sen yhteinen tekijä on 1/2.
Se, että geometrisella sekvenssillä on yhteinen tekijä, antaa sinun tehdä kaksi asiaa. Ensimmäinen on laskea mikä tahansa satunnaiselementti sarjassa (jota matemaatikot haluavat kutsua "nth "elementti", ja toisena on löytää geometrisen sekvenssin summa summaannth elementti. Kun summaat jakson asettamalla plusmerkin jokaisen termiparin väliin, muutat sekvenssin geometriseksi sarjaksi.
Geometrisen sarjan n: n elementin löytäminen
Yleensä voit edustaa mitä tahansa geometrista sarjaa seuraavasti:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
missä "a"on sarjan ensimmäinen termi ja"r"on yhteinen tekijä. Tarkasta tämä ottamalla huomioon sarja, jossaa= 1 jar= 2. Saat 1 + 2 + 4 + 8 + 16... se toimii!
Tämän selvittämisen jälkeen on nyt mahdollista johtaa kaava n: nneksi termille sekvenssissä (xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Eksponentti onn- 1 pikemminkin kuinnjotta jakson ensimmäinen termi voidaan kirjoittaa muodossaar0, joka on sama kuin "a."
Tarkista tämä laskemalla esimerkkisarjan 4. termi.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Geometrisen sekvenssin summan laskeminen
Jos haluat summata toisistaan poikkeavan sekvenssin, jonka yhteinen annos on suurempi kuin 1 tai alle -1, voit tehdä sen vain rajalliseen määrään termejä. On kuitenkin mahdollista laskea loputtoman konvergentin sekvenssin summa, jolla on yhteinen suhde välillä 1 ja - 1.
Kehittääksesi geometrisen summan kaavan, aloita miettimällä mitä olet tekemässä. Etsit yhteensä seuraavia lisäyssarjoja:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Jokainen sarjan termi onarkjaksiirtyy 0: sta arvoonn− 1. Sarjan summan kaava käyttää isoa sigma-merkkiä - ∑ - mikä tarkoittaa kaikkien termien lisäämistä kohteesta (k= 0) - (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Tarkastaaksesi tämän, ota huomioon geometrisen sarjan neljän ensimmäisen termin summa, joka alkaa luvusta 1 ja jolla on yhteinen kerroin 2. Yllä olevassa kaavassaa = 1, r= 2 jan= 4. Kytkemällä nämä arvot saat:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
Tämä on helppo tarkistaa lisäämällä sarjan numerot itse. Itse asiassa, kun tarvitset geometrisen sarjan summan, on yleensä helpompaa lisätä numerot itse, kun termejä on vain muutama. Jos sarjassa on kuitenkin paljon termejä, on paljon helpompaa käyttää geometrisen summan kaavaa.