Funktioiden integrointi on yksi laskennan ydinsovelluksista. Joskus tämä on suoraviivaista, kuten:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
Tämän tyyppisessä suhteellisen monimutkaisessa esimerkissä voit käyttää peruskaavan versiota määrittelemättömien integraalien integroimiseksi:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
missäAjaCovat vakioita.
Näin ollen tässä esimerkissä
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Neliöjuureen perustoimintojen integrointi
Pinnalla neliöjuurifunktion integrointi on hankalaa. Esimerkiksi sinua voi häiritä:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Mutta voit ilmaista neliöjuuren eksponenttina, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Siksi integraalista tulee:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
johon voit käyttää tavallista kaavaa ylhäältä:
\ begin {tasattu} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ loppu {tasattu}
Monimutkaisempien neliöjuuritoimintojen integrointi
Joskus radikaalin merkin alla voi olla useampi kuin yksi termi, kuten tässä esimerkissä:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Voit käyttääu- korvaaminen jatkaaksesi. Tässä asetatuyhtä suuri kuin nimittäjän määrä:
u = \ sqrt {x - 3}
Ratkaise tämäxneliöimällä molemmat puolet ja vähentämällä:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Tämän avulla voit saada dx: nuottamalla johdannainenx:
dx = (2u) du
Korvaamalla takaisin alkuperäiseen integraaliin saadaan
\ Aloita {tasattu} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {tasattu}
Nyt voit integroida tämän käyttämällä peruskaavaa ja ilmaisuausuhteenx:
\ begin {tasattu} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ loppu {tasattu}