Trigonometria voi tuntua melko abstraktilta aiheelta. Pelkät termit, kuten "synti" ja "cos", eivät vain näytä vastaavan mitään todellisuudessa, ja on vaikea ymmärtää niitä käsitteinä. Yksikköympyrä auttaa tässä merkittävästi tarjoamalla suoraviivaisen selityksen siitä, mitkä luvut saat, kun otat kulman sini-, kosini- tai tangentin. Kaikille luonnontieteiden tai matematiikan opiskelijoille yksikköympyrän ymmärtäminen voi todella vahvistaa ymmärrystäsi trigonometriasta ja toimintojen käytöstä.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Yksikköympyrän säde on yksi. Kuvittelexykoordinaattijärjestelmä alkaa tämän ympyrän keskeltä. Pistekulmat mitataan mistäx= 1 jay= 0, ympyrän oikealla puolella. Kulmat kasvavat, kun liikkut vastapäivään.
Käyttämällä tätä kehystä jayvarteny-koordinaatti jaxvartenx-ympyrän pisteen koordinaatti:
syntiθ = y
cosθ = x
Ja näin ollen:
rusketusθ = y / x
Mikä on yksikön ympyrä?
Yksikköympyrän säde on 1. Toisin sanoen etäisyys ympyrän keskipisteestä reunan mihin tahansa osaan on aina 1. Mittayksiköllä ei ole väliä, koska yksikköympyrässä tärkeintä on, että se tekee monista yhtälöistä ja laskelmista paljon yksinkertaisempia.
Se toimii myös hyödyllisenä perustana kulmamääritelmien tarkastelemiseen. Kuvittele, että ympyrän keskipiste on koordinaatiston keskellä jax- vaaka vaakasuorassa ja ay-akselit kulkevat pystysuunnassa. Ympyrä ylittääx-akselix = 1, y= 0. Tutkijat ja matemaatikot määrittelevät kulman siitä pisteestä, joka liikkuu vastapäivään. Joten asiax =1, y= 0 ympyrässä on 0 °: n kulmassa.
Sinin ja cos: n määritelmät yksikköpiirin avulla
Opiskelijoille annetut tavalliset synnin, cos: n ja rusketuksen määritelmät koskevat kolmioita. He toteavat:
\ sin θ = \ frac {\ text {vastakkainen}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {vieressä}} {\ text {hypotenuse}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
"Vastakkainen" viittaa kulman vastakkaiselle kolmion sivun pituudelle, "viereinen" viittaa kolmiolle kulman vieressä olevan sivun pituus ja "hypotenuse" viittaa viivan diagonaalisen sivun pituuteen kolmio.
Kuvittele kolmion luominen siten, että hypotenuusa oli aina yksikköympyrän säde siten, että yksi kulma oli ympyrän reunalla ja yksi keskellä. Tämä tarkoittaa, että hypotenuse = 1 yllä olevissa yhtälöissä, joten kahdesta ensimmäisestä tulee:
\ sin θ = \ frac {\ text {vastapää}} {1} = \ text {vastakkainen} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {vieressä}} {1} = \ text {vieressä} \\
Jos asetat kulman ympyrän keskelle, päinvastainen on vainy-koordinaatti ja viereinen on vainx- kolmiota koskettavan ympyrän pisteen koordinaatti. Toisin sanoen, synti palauttaay-koordinaatti yksikön ympyrässä (käyttäen keskeltä alkavia koordinaatteja) tietylle kulmalle ja cos palauttaax-koordinaatti. Siksi cos (0) = 1 ja sin (0) = 0, koska tässä vaiheessa ne ovat koordinaatit. Samoin cos (90) = 0 ja sin (90) = 1, koska tämä on kohtax= 0 jay= 1. Yhtälömuodossa:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Negatiiviset kulmat on myös helppo ymmärtää tämän perusteella. Negatiivisilla kulmilla (mitattuna myötäpäivään lähtöpisteestä) on samaxkoordinaatti vastaavana positiivisena kulmana, joten:
\ cos -θ = \ cos θ
Kuitenkiny-koordinaattikytkimet, mikä tarkoittaa sitä
\ sin -θ = - \ syn θ
Määritelmä rusketus yksikköympyrällä
Edellä annettu rusketuksen määritelmä on:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Mutta synnin ja cos: n yksikköympyrämääritelmien avulla näet, että tämä vastaa:
\ tan θ = \ frac {\ text {vastakkainen}} {\ text {vieressä}}
Tai ajattelemalla koordinaatit:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Tämä selittää, miksi rusketus on määrittelemätön 90 ° tai −270 ° ja 270 ° tai −90 ° (missäx= 0), koska et voi jakaa nollalla.
Trigonometristen toimintojen piirtäminen
Sinin tai cos: n piirtäminen on helpompaa, kun ajattelet yksikköympyrää.x-koordinaatti vaihtelee sujuvasti, kun liikkut ympyrän ympäri, aloittaen 1: stä ja pienenemällä minimiin −1: een 180 °: ssa ja kasvamalla sitten samalla tavalla. Syntitoiminto tekee saman asian, mutta se nousee enimmäisarvoon 1 90 °: ssa ensin, ennen kuin noudattaa samaa mallia. Kummankin toiminnon sanotaan olevan 90 ° "vaiheen" ulkopuolella toistensa kanssa.
Rusketuksen piirtäminen vaatii jakamistaymennessäx, ja niin on monimutkaisempi piirtää, ja siinä on myös pisteitä, joissa sitä ei ole määritelty.
