Kun aloitat trigonometrian ja laskennan, saatat törmätä lausekkeisiin, kuten synti (2θ), jossa sinua pyydetään löytämään arvonθ. Kokeilun ja virheen pelaaminen kaavioiden tai laskimen avulla vastauksen löytämiseksi vaihtelee venytetystä painajaisesta täysin mahdotonta. Onneksi kaksinkulmaiset identiteetit auttavat sinua. Nämä ovat erityisiä tapauksia ns. Yhdistekaavaksi, joka rikkoo muotojen funktiot (A + B) tai (A – B) alas vainAjaB.
Kaksikulmaiset identiteetit sinille
Kaksoiskulma-identiteettejä on kolme, yksi kukin sini-, kosini- ja tangenttitoiminnoille. Mutta sini- ja kosini-identiteetit voidaan kirjoittaa monin tavoin. Tässä on kaksi tapaa kirjoittaa kaksikulmainen identiteetti sinifunktiolle:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Kosinin kaksikulmaiset identiteetit
Kaksinkulmaisen identiteetin kirjoittamiseksi kosinille on vielä enemmän tapoja:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Tangentin kaksikulmainen identiteetti
Armollisesti on vain yksi tapa kirjoittaa kaksikulmainen identiteetti tangenttitoiminnolle:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Kaksikulmaisten identiteettien käyttö
Kuvittele, että kohtaat suorakulmion, jossa tiedät sen sivujen pituuden, mutta et sen kulmien mittaa. Sinua on pyydetty etsimäänθ, missäθon yksi kolmion kulmista. Jos kolmion hypotenuusin koko on 10 yksikköä, kulman vieressä oleva sivu on 6 yksikköä ja kulmaa vastapäätä oleva sivu on 8 yksikköä, ei ole väliä, ettet tiedä mittaaθ; voit käyttää sini- ja kosinitietojasi sekä yhtä kaksikulmakaavoista löytääksesi vastauksen.
Kun olet valinnut kulman, voit määritellä sinin vastakkaisen puolen suhteeksi hypotenuusan yli ja kosinin viereisen sivun suhteeksi hypotenuusan suhteen. Joten juuri annetussa esimerkissä sinulla on:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Löydät nämä kaksi lauseketta, koska ne ovat kaksinkulmaisten kaavojen tärkeimmät rakennuspalikat.
Koska valittavana on niin monta kaksikulmaista kaavaa, voit valita sellaisen, joka näyttää helpommalta laskea ja palauttaa tarvitsemasi tiedot. Tässä tapauksessa, koska tunnet synninθja cosθjo, on selvää, että mukavin lauseke on:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Tiedät jo sin already: n ja cosθ: n arvot, joten korvaa ne yhtälössä:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Kun yksinkertaistat, sinulla on:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Suurin osa trigonometrisistä kaavioista on desimaaleina, joten seuraavaksi toimi murtoluvun edustama jako muuntaa se desimaalimuodoksi. Nyt sinulla on:
\ sin (2θ) = 0,96
Lopuksi, etsi käänteinen sini- tai arcsiiniluku 0,96, joka on kirjoitettu synniksi −1(0.96). Tai toisin sanoen, käytä laskinta tai kaaviota arvioidaksesi kulman, jonka sini on 0,96. Kuten käy ilmi, se on melkein täsmälleen 73,7 astetta. Joten 2θ= 73,7 astetta.
Jaa yhtälön molemmat puolet 2: lla. Tämä antaa sinulle:
θ = 36,85 \ teksti {astetta}