Geometriassa radiaani on yksikkö, jota käytetään kulmien mittaamiseen. Säde tulee ympyrän säteen pituudesta. Ympyrän kehän segmentti, joka vastaa kahden sädeviivan muodostamaa kulmaa, muodostaa kaaren. Tämän kaaren luoma kulma, kun vedät viivoja sen alku- ja loppupisteistä ympyrän keskelle, on yksi radiaani. Vaikka radiaani saattaa vaikuttaa aluksi oudolta ja monimutkaiselta, se yksinkertaistaa matemaattisen ja fysiikan yhtälöitä.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Geometriassa radiaani on ympyrään perustuva yksikkö, jota käytetään kulmien mittaamiseen. Se helpottaa laskelmia edistyneissä matematiikkatyypeissä.
Tutkinnot vs. Radiaanit
Fysiikan ja kehittyneen matematiikan ulkopuolella tutkinnot ovat tyypillisesti yksikköä kulmamittauksiin. Esimerkiksi ympyrässä on 360 astetta, kolmiossa 180 ja suorassa kulmassa 90. Sitä vastoin täydessä ympyrässä on 2 × π (pi) radiaania, kolmiossa on π radiaania ja suorakulma on π / 2 radiaania. Ympyrällä on kokonaisluku asteita, kun taas radiaaneina arvo on irrationaalinen luku, joten radiaanit saattavat ensin punastua tuntua oudolta. Toisaalta saatat ilmaista asteen murto-osan desimaalina tai minuutteina, sekunteina ja desimaaleina sekunneina, joita käytät myös ajan myötä, joten tutkinnolla on omat kysymyksensä.
Helpompaa ja vaikeampaa
Astemittauksia on tyypillisesti helpompi käsitellä kuin radiaaneja aritmeettisessa ja trigonometrisessa perus-; kulman ilmaisemisessa joudut harvoin käsittelemään π: n murto-osia. Mutta laskennassa ja muussa kehittyneessä matematiikassa osoittautuu, että radiaani on helpompaa. Esimerkiksi sinifunktion tehosarja radiaaneina on seuraava:
\ sin (x) = x - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {7!} + \ frac {x ^ 9 } {9!} + ...
Asteina funktio näyttää tältä:
\ sin (x) = (π × x / 180) - \ frac {(π × x / 180) ^ 3} {3!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 5} {5!} - \ frac {(π × x / 180) ^ 7} {7!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 9} {9!} + ...
Huomaa tälle tehosarjalle, että sinun on toistettava “π ×x/ 180 ”jokaiselle termille - paljon ylimääräistä kirjoitusta ja laskutoimitusta siistimpään verrattuna, kompaktimpi vastine radiaaneina. Radiaani tulee ympyrän luonnollisesta geometriasta eikä jakamisesta mielivaltaisella luvulla, kuten asteet tekevät. Koska radiaanit tekevät monista laskelmista helpompia, matemaatikot ajattelevat yksikön olevan "luonnollisempaa" kuin astetta.
Käyttö radiaaneille
Tehosarjojen, kuten sinifunktioesimerkin, lisäksi näet matematiikassa radiaaneja, joihin sisältyy laskenta ja differentiaaliyhtälöt. Esimerkiksi kun käytät radiaaneja, sinifunktion johdannainen, sin (x), on yksinkertaisesti kosini, cos (x). Asteina synnin johdannainen (x) on hankalampi (π ÷ 180) × cos (x). Matematiikan edetessä ongelmat vaikeutuvat, ja ratkaisut vaativat paljon enemmän laskentarivejä ja algebraa. Radiaanit säästävät paljon tarpeetonta ylimääräistä kirjoittamista ja vähentävät mahdollisuuksia tehdä virheitä.
Fysiikassa aaltojen taajuuden ja esineiden pyörimisnopeuden kaavoissa käytetään pieniä kirjaimia omega "ω, Kätevänä lyhenteenä sanalle “2 × π × radiaania sekunnissa”.
Muuntaa astetta radiaaneiksi
Kaavat, joilla muunnetaan asteet radiaaneiksi ja takaisin, ovat suoraviivaisia. Muunna kulmat asteina radiaaneiksi kertomalla kulma π: llä ja jakamalla sitten 180: llä. Esimerkiksi ympyrässä on 360 astetta. Kerrotaan π: llä, josta tulee 360π; jaa sitten 180: llä ja saat 2π radiaania. Muunna radiaaneista asteisiin kertomalla 180 ja jakamalla sitten π. Muunna esimerkiksi suorakulma, π ÷ 2 radiaania. Kerro 180: llä saadaksesi 90π ja jaa sitten π saadaksesi tuloksen 90 astetta.