Matematiikassa luvun vastavuoroinen on luku, joka kerrottuna alkuperäisellä numerolla tuottaa 1. Esimerkiksi muuttujan x vastavuoro on 1 /x, koska
x × \ frac {1} {x} = \ frac {x} {x} = 1
Tässä esimerkissä 1 /xon vastavuoroinen identiteettix, ja päinvastoin. Trigonometriassa jompikumpi suorakulmion ei-90 asteen kulmista voidaan määrittää suhteilla, joita kutsutaan siniksi, kosiniksi ja tangentiksi. Matemaatikot määrittelevät vastavuoroisten identiteettien käsitteen soveltamalla vielä kolme suhdetta. Heidän nimensä ovat cosecant, secant ja kotangentti. Kosekantti on sinin vastavuoroinen identiteetti, kosinin sekantti ja tangentin tangentin identiteetti.
Kuinka määrittää vastavuoroiset identiteetit
Harkitse kulmaaθ, joka on yksi suoran kolmion kahdesta ei-90 asteen kulmasta. Jos kulmaa vastapäätä olevan kolmion sivun pituus on "b, "kulman vieressä olevan ja hypotenuksia vastapäätä olevan sivun pituus on"a"ja hypotenuusin pituus on"r, "voimme määritellä kolme ensisijaista trigonometristä suhdetta näiden pituuksien suhteen.
\ text {sine} θ = \ sin θ = \ frac {b} {r} \\ \, \\ \ text {kosini} θ = \ cos θ = \ frac {a} {r} \\ \, \\ \ text {tangent} θ = \ tan θ = \ frac {b} {a} \\
Synnin vastavuoroinen identiteettiθtäytyy olla yhtä suuri kuin 1 / sin θ, koska se on luku, joka kerrotaan synnilläθ, tuottaa 1. Sama pätee cos: iinθja rusketusθ. Matemaatikot antavat näille vastavuoroisille nimet vastaavasti sekantti, sekantti ja kotangentti. Määritelmän mukaan:
\ text {cosecant} θ = \ csc θ = \ frac {1} {\ sin θ} \\ \, \\ \ text {secant} θ = \ sec θ = \ frac {1} {\ cos θ} \\ \, \\ \ text {kotangentti} θ = \ cot θ = \ frac {1} {\ tan θ}
Voit määrittää nämä vastavuoroiset identiteetit suorakulmion sivujen pituuksien suhteen seuraavasti:
\ csc θ = \ frac {r} {b} \\ \, \\ \ sec θ = \ frac {r} {a} \\ \, \\ \ cot θ = \ frac {a} {b}
Seuraavat suhteet koskevat kaikkia kulmiaθ:
\ sin θ × \ csc θ = 1 \\ \ cos θ × \ sec θ = 1 \\ \ tan θ × \ cot θ = 1
Kaksi muuta trigonometristä identiteettiä
Jos tiedät kulman sini- ja kosinusinin, voit johtaa tangentin. Tämä on totta, koska
\ sin θ = \ frac {b} {r} \ text {ja} \ cos θ = \ frac {a} {r} \ text {, joten} \ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ frac {b} {r} × \ frac {r} {a} = \ frac {b} {a}
Koska tämä on tan θ: n määritelmä, seuraava identiteetti, joka tunnetaan osamäärän identiteettinä, seuraa:
\ frac {\ sin θ} {\ cos θ} = \ tan θ \\ \, \\ \ frac {\ cos θ} {\ sin θ} = \ pinnasänky θ
Pythagoraan identiteetti johtuu siitä, että minkä tahansa suorakulmion, jossa on sivutajabja hypotenuusir, seuraava on totta:a2 + b2 = r2. Järjestämällä termit uudelleen ja määrittelemällä suhteet sini- ja kosini-suhteissa, pääset seuraavaan lausekkeeseen:
\ sin ^ 2 θ + \ cos ^ 2 θ = 1
Kaksi muuta tärkeää suhdetta seuraa, kun lisäät sini- ja kosinin vastavuoroiset identiteetit yllä olevaan lausekkeeseen:
\ tan ^ 2 θ + 1 = \ sec ^ 2 θ \\ \ pinnasänky ^ 2 θ + 1 = \ csc ^ 2 θ