Useimmat ihmiset muistavatPythagoraan lausealoittelijan geometriasta - se on klassikko. Sen
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2
missäa, bjacovat suorakulmion sivut (con hypotenuusi). No, tämä lause voidaan myös kirjoittaa trigonometriaa varten!
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Pythagorean identiteetit ovat yhtälöitä, jotka kirjoittavat Pythagoraan lauseen trig-funktioiden suhteen.
PääPythagoraan identiteetitovat:
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ tan ^ 2 (θ) = \ sec ^ 2 (θ) \\ 1 + \ pinnasänky ^ 2 (θ) = \ csc ^ 2 (θ)
Pythagoraan identiteetit ovat esimerkkejätrigonometriset identiteetit: yhtälöt (yhtälöt), jotka käyttävät trigonometrisiä toimintoja.
Miksi sillä on väliä?
Pythagoran identiteetit voivat olla erittäin hyödyllisiä yksinkertaistettujen trig-lauseiden ja yhtälöiden yksinkertaistamisessa. Muista ne nyt, ja voit säästää paljon aikaa tiellä!
Todistus trig-funktioiden määritelmien avulla
Nämä identiteetit on melko helppo todistaa, jos ajattelet trig-funktioiden määritelmiä. Todistetaan esimerkiksi se
\ sin ^ 2 (θ) + \ cos ^ 2 (θ) = 1
Muista, että sinin määritelmä on vastakkainen puoli / hypotenuus ja että kosini on vierekkäinen puoli / hypotenuus.
Niin
\ sin ^ 2 = \ frac {\ text {vastakkainen} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Ja
\ cos ^ 2 = \ frac {\ text {vieressä} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Voit helposti lisätä nämä kaksi yhteen, koska nimittäjät ovat samat.
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = \ frac {\ text {vastakkainen} ^ 2 + \ text {vieressä} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2}
Katsokaa nyt taas Pythagoraan lause. Se sanoo sena2 + b2 = c2. Pidä mielessä, ettäajabseiso vastakkaisille ja vierekkäisille sivuille jactarkoittaa hypotenuusaa.
Voit järjestää yhtälön uudelleen jakamalla molemmat puoletc2:
a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 \\ \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = 1
Siitä asti kuna2 jab2 ovat vastakkaiset ja vierekkäiset sivut jac2 on hypotenuusi, sinulla on vastaava lause kuin yllä olevalla, kanssa (päinvastainen2 + viereinen2) / hypotenuusi2. Ja kiitos työstäa, b, cja Pythagoraan lause, näet nyt, että tämä lause on 1!
Niin
\ frac {\ text {vastapäätä} ^ 2 + \ text {vieressä} ^ 2} {\ text {hypotenuse} ^ 2} = 1
ja siksi:
\ sin ^ 2 + \ cos ^ 2 = 1
(Ja on parempi kirjoittaa se oikein: synti2(θ) + cos2(θ) = 1).
Vastavuoroiset identiteetit
Vietetään muutama minuutti katsomallavastavuoroiset identiteetityhtä hyvin. Muista, ettävastavuoroinenon yksi jaettuna numerollasi ("yli") - tunnetaan myös käänteisenä.
Koska kosekantti on sinin vastavuoroinen:
\ csc (θ) = \ frac {1} {\ sin (θ)}
Voit myös ajatella kosekanttia sinin määritelmän avulla. Esimerkiksi sini = vastakkainen puoli / hypotenuse. Käänteinen on ylösalaisin käännetty murtoluku, joka on hypotenuusa / vastakkainen puoli.
Samoin kosinin vastavuoroisuus on sekantti, joten se määritellään
\ sec (θ) = \ frac {1} {\ cos (θ)} \ text {tai} \ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {viereinen puoli}}
Ja tangentin vastavuoroinen on kotangentti, niin
\ cot (θ) = \ frac {1} {\ tan (θ)} = \ frac {\ text {viereinen puoli}} {\ text {vastapuoli}}
Sekanttia ja kosekanttia käyttävien pythagoralaisten identiteettien todisteet ovat hyvin samankaltaisia kuin sinin ja kosinin. Voit myös johtaa yhtälöt "emo" -yhtälöllä, sin2(θ) + cos2(θ) = 1. Jaa molemmat puolet cos: lla2(θ) saadaksesi identiteetin 1 + rusketus2(θ) = sek2(θ). Jaa molemmat puolet synnillä2(θ) saadaksesi henkilöllisyyden 1 + pinnasänky2(θ) = csc2(θ).
Onnea ja muista muistaa kolme Pythagoraan identiteettiä!