Aivan kuten algebrassa, kun aloitat trigonometrian oppimisen, keräät kaavasarjoja, joista on hyötyä ongelmanratkaisussa. Yksi tällainen joukko on puolikulma-identiteetit, joita voit käyttää kahteen tarkoitukseen. Yksi on muuntaa trigonometriset funktiot (θ/ 2) funktioihin tutumman (ja helpommin manipuloitavan) kannaltaθ. Toinen on löytää trigonometristen funktioiden todellinen arvoθ, kunθvoidaan ilmaista puolena tutummasta kulmasta.
Puolikulmaisten identiteettien tarkastelu
Monissa matematiikan oppikirjoissa luetellaan neljä ensisijaista puolikulmaidentiteettiä. Mutta soveltamalla algebran ja trigonometrian yhdistelmää nämä yhtälöt voidaan hieroa useisiin hyödyllisiin muotoihin. Kaikkia näitä ei välttämättä tarvitse muistaa (ellei opettajasi sitä vaadi), mutta sinun tulisi ainakin ymmärtää, miten niitä käytetään:
Puolikulmainen identiteetti sinille
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Puolen kulman identiteetti kosinille
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Puolikulmaiset identiteetit tangentille
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Kotangentin puolikulmaiset identiteetit
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Esimerkki puolikulmaisten identiteettien käytöstä
Joten miten käytät puolikulmaidentiteettejä? Ensimmäinen vaihe on tunnistaa, että olet tekemisissä kulman kanssa, joka on puolet tutummasta kulmasta.
- I kvadrandi: kaikki trig-toiminnot
- Neljännes II: vain sini ja cosekantti
- Neljännes III: vain tangentti ja kotangentti
- Neljännes IV: vain kosini ja sekantti
Kuvittele, että sinua pyydetään löytämään sinin kulma 15 astetta. Tämä ei ole yksi kulmista, joita useimmat opiskelijat muistavat trig-funktioiden arvot. Mutta jos annat 15 asteen olla yhtä suuri kuin θ / 2 ja ratkaiset sitten arvolle θ, huomaat, että:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Koska tuloksena oleva θ, 30 astetta, on tutumpi kulma, tässä olevan puolikulmakaavan käyttäminen on hyödyllistä.
Koska sinua on pyydetty löytämään sini, on oikeastaan vain yksi puolikulmakaava, josta voit valita:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Korvaaminenθ/ 2 = 15 astetta jaθ= 30 astetta antaa sinulle:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Jos sinua on pyydetty löytämään tangentti tai kotangentti, jotka molemmat puoliksi kertovat tapoja ilmaista puolikulmaidentiteettinsä, valitset yksinkertaisesti version, joka näytti helpoimmalta työskennellä.
± -merkki joidenkin puolikulma-identiteettien alussa tarkoittaa, että kyseinen juuri voi olla positiivinen tai negatiivinen. Voit ratkaista tämän epäselvyyden käyttämällä tietosi trigonometrisista funktioista kvadrantteina. Tässä on lyhyt yhteenveto trig-funktioistapositiivinenarvot, joissa kvadrantit:
Koska tässä tapauksessa kulma θ edustaa 30 astetta, joka putoaa kvadranttiin I, tiedät, että sen palauttama siniarvo on positiivinen. Joten voit pudottaa ± -merkin ja yksinkertaisesti arvioida:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Korvaa cos: n tuttu, tunnettu arvo. Käytä tässä tapauksessa tarkkoja arvoja (toisin kuin kaavion desimaaliarvot):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Seuraavaksi yksinkertaista yhtälön oikeaa reunaa löytääksesi arvon synnille (15). Aloita kertomalla radikaalin alla oleva ilmaisu luvulla 2/2, mikä antaa sinulle:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
Tämä yksinkertaistaa:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Voit sitten laskea neliön juuren arvosta 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
Useimmissa tapauksissa tämä on suunnilleen niin yksinkertaista. Vaikka tulos ei ehkä ole kovin kaunis, olet kääntänyt tuntemattoman kulman sinin tarkkaan määrään.