Kolmiulotteisen kiinteän aineen tilavuus on sen käyttämän kolmiulotteisen tilan määrä. Joidenkin yksinkertaisten kuvioiden tilavuus voidaan laskea suoraan, kun sen yhden sivun pinta-ala tiedetään. Monien muotojen tilavuus voidaan laskea myös niiden pinta-alasta. Joidenkin monimutkaisempien muotojen tilavuus voidaan laskea integraalilaskennalla, jos sen pinta-alaa kuvaava toiminto on integroitava.
Olkoon \ "S \" kiinteä aine, jossa on kaksi yhdensuuntaista pintaa, joita kutsutaan "pohjaksi". "Kaikilla kiinteän aineen poikkileikkauksilla, jotka ovat yhdensuuntaiset alustojen kanssa, on oltava sama alue kuin alustoilla. Olkoon \ "b \" näiden poikkileikkausten pinta-ala ja olkoon \ "h \" etäisyys, joka erottaa kaksi tasoa, joissa pohjat sijaitsevat.
Laske \ "S \": n tilavuus muodossa V = bh. Prismat ja sylinterit ovat yksinkertaisia esimerkkejä tämän tyyppisistä kiinteistä aineista, mutta ne sisältävät myös monimutkaisempia muotoja. Huomaa, että näiden kiinteiden aineiden tilavuus voidaan helposti laskea riippumatta siitä, kuinka monimutkainen pohjan muoto on, kunhan vaiheen 1 olosuhteet pysyvät voimassa ja pohjan pinta-ala tunnetaan.
Olkoon \ "P \" kiinteä aine, joka muodostetaan yhdistämällä pohja tukipisteeksi kutsuttuun pisteeseen. Olkoon kärjen ja pohjan välinen etäisyys \ "h, \" ja alustan ja pohjan kanssa yhdensuuntaisen poikkileikkauksen välinen etäisyys \ "z. \" Olkoon lisäksi alustan pinta-ala \ "b \" ja poikkileikkauksen pinta-ala \ "c. \" Kaikissa tällaisissa poikkileikkauksissa (h - z) / h = c / b.
Laske \ "P \" -tilavuus vaiheessa 3 muodossa V = bh / 3. Pyramidit ja kartiot ovat yksinkertaisia esimerkkejä tämän tyyppisistä kiinteistä aineista, mutta ne sisältävät myös monimutkaisempia muotoja. Pohja voi olla minkä tahansa muotoinen, kunhan sen pinta-ala tunnetaan ja vaiheen 3 olosuhteet pysyvät voimassa.
Laske pallon tilavuus sen pinta-alasta. Pallon pinta-ala on A = 4? R ^ 2. Integroimalla tämä funktio \ "r": n suhteen saadaan pallon tilavuus muodossa V = 4/3? R ^ 3.