Oletko koskaan miettinyt, kuinka trigonometriset toiminnot, kuten sini ja kosini, liittyvät toisiinsa? Niitä käytetään molempien sivujen ja kulmien laskemiseen kolmioissa, mutta suhde menee pidemmälle.Yhteistoimintojen identiteetitanna meille erityisiä kaavoja, jotka osoittavat, kuinka muunnetaan sinin ja kosinin, tangentin ja kotangentin sekä sekantin ja kosekantin välillä.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Kulman sini on yhtä suuri kuin sen komplementin kosini ja päinvastoin. Tämä pätee myös muihin toimintoihin.
Helppo tapa muistaa, mitkä toiminnot ovat toimintoja, on se, että kaksi trig-toimintoa ovattoimintojajos jollakin niistä on etuliite "co-". Niin:
- sini jayhteistyössäsinus ovatyhteistyössätoimintoja.
- tangentti jayhteistyössätangentit ovatyhteistyössätoimintoja.
- sekantti jayhteistyössäSecant ovatyhteistyössätoimintoja.
Voimme laskea edestakaisin funktioiden välillä käyttämällä tätä määritelmää: Kulman funktion arvo on yhtä suuri kuin komplementin yhteisfunktion arvo.
Tämä kuulostaa monimutkaiselta, mutta sen sijaan, että puhumme funktion arvosta yleensä, käytämme tiettyä esimerkkiä.
sinikulman arvo onkosinisen täydennysosa. Ja sama pätee muihin toimintoihin: Kulman tangentti on yhtä suuri kuin sen komplementin kotangentti.Muista: Kaksi kulmaa ontäydentääjos ne ovat enintään 90 astetta.
Yhteistoiminnot asteina:
(Huomaa, että 90 ° -xantaa meille kulman täydennyksen.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ pinnasänky (90 ° - x) \\ \ pinnasänky (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Yhteiskäyttöidentiteetit radiaaneina
Muista, että voimme kirjoittaa asioita myösradiaaneja, joka on SI-yksikkö kulmien mittaamiseen. Yhdeksänkymmentä astetta on sama kuin π / 2 radiaania, joten voimme kirjoittaa myös tämän toiminnon identiteetit:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Yhteistoimintojen todistus
Tämä kaikki kuulostaa hyvältä, mutta miten voimme todistaa, että tämä on totta? Itse testaaminen parilla esimerkkikolmioilla voi auttaa sinua tuntemaan itsesi luottavaiseksi, mutta myös tiukempi algebrallinen todiste. Todistetaan sini- ja kosini-funktioiden identiteetit. Aiomme työskennellä radiaaneina, mutta se on sama kuin astetta.
Todiste:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Ensinnäkin, päästä takaisin muistissasi tähän kaavaan, koska aiomme käyttää sitä todisteissamme:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Sain sen? OK. Todistetaan nyt: synti (x) = cos (π / 2 - x).
Voimme kirjoittaa cos (π / 2 -x) kuten tämä:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)
koska tiedämme
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ teksti {ja} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Niin
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Todistetaan nyt kosinilla!
Todiste:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Toinen räjähdys menneisyydestä: Muistatko tämän kaavan?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Aiomme käyttää sitä. Todistetaan nyt:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Voimme kirjoittaa synnin uudelleen (π / 2 -x) kuten tämä:
\ Aloita {tasattu} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ loppu {tasattu}
koska tiedämme
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ teksti {ja} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Joten saamme
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Toimintalaskin
Kokeile muutamia esimerkkejä toimintojen käytöstä itse. Mutta jos juutut jumiin, Math Celebritylla on toimintolaskin, joka näyttää vaiheittaiset ratkaisut toiminto-ongelmiin.
Hyvää laskua!