Kyky laskea numeroryhmän keskiarvo tai keskiarvo on tärkeä kaikilla elämän osa-alueilla. Jos olet professori, joka antaa kirjaintuloksia tenttituloksille ja antaa perinteisesti arvosanan B- a: lle keskellä pakkausta -pisteet, sinun on selvästi tiedettävä, miltä pakkauksen keskiosa näyttää numeerisesti. Tarvitset myös tavan tunnistaa pisteet poikkeavina, jotta voit määrittää, milloin joku ansaitsee A- tai A + -arvon (täydellisten pisteiden ulkopuolella, tietenkin) sekä sen, mikä ansaitsee epäonnistuneen arvosanan.
Tästä ja siihen liittyvistä syistä täydelliset tiedot keskiarvoista sisältävät tietoja siitä, kuinka tiiviisti keskimääräisen pistemäärän ympärille tulokset ovat yleensä. Tämä tieto välitetään käyttäen keskihajonta ja siihen liittyvä varianssi tilastollisesta otoksesta.
Vaihtelevuuden mittaukset
Olet melkein varmasti kuullut tai nähnyt termiä "keskiarvo", jota käytetään viittaamaan joukkoihin numeroita tai datapisteitä, ja sinulla on todennäköisesti käsitys siitä, mitä se tarkoittaa jokapäiväisessä kielessä. Esimerkiksi, jos luet, että amerikkalaisen naisen keskimääräinen pituus on noin 5 '4 ", päätät heti sen "keskiarvo" tarkoittaa "tyypillistä" ja että noin puolet naisista Yhdysvalloissa on tätä pitempiä ja noin puolet naisista lyhyempi.
Matemaattisesti, keskiverto ja tarkoittaa ovat täsmälleen samat: Lisät kaikki sarjan arvot ja jaat joukon alkioiden lukumäärällä. Esimerkiksi, jos 25 hengen ryhmä saa pisteet 10 kysymyksen testillä, vaihtelee välillä 3-10 ja lisää yhteen 196, keskimääräinen (keskimääräinen) pisteet on 196/25 tai 7,84.
Mediaani on joukon keskipistearvo, luku, jonka puolet arvoista ylittää ja puolet arvoista on alle. Se on yleensä lähellä keskimääräistä (keskiarvoa), mutta ei ole sama asia.
Varianssikaava
Jos silmämuna on joukko 25 pistettä, kuten yllä olevat, ja näet melkein mitään muuta kuin arvot 7, 8 ja 9, on järkevää, että keskiarvon tulisi olla noin 8. Mutta entä jos et näe melkein muuta kuin pisteitä 6 ja 10? Tai viisi pistettä 0 ja 20 pistettä 9 tai 10? Kaikki nämä voivat tuottaa saman keskiarvon.
Varianssi mittaa sitä, kuinka laajasti tietojoukon pisteet ovat levinneet keskiarvon suhteen. Laske varianssi käsin ottamalla aritmeettinen ero kunkin datapisteen ja keskiarvon välillä, neliö ne, lisää neliöiden summa ja jaa tulos yhdellä vähemmän kuin datapisteiden lukumäärä näyte. Esimerkki tästä annetaan myöhemmin. Voit myös käyttää ohjelmia, kuten Excel, tai verkkosivustoja, kuten Rapid Tables (katso lisäsivustojen lähteet).
Varianssi on merkitty σ2, kreikkalainen "sigma", jonka eksponentti on 2.
Keskihajonta
keskihajonta näytteestä on yksinkertaisesti varianssin neliöjuuri. Syynä neliöihin varianssin laskennassa on se, että jos lasketaan yhteen keskimääräisen ja kunkin yksittäiset erot Yksittäisen datapisteen summa on aina nolla, koska jotkut näistä eroista ovat positiivisia ja toiset negatiivisia, ja ne peruuttavat toisensa ulos. Jokaisen termin neliöiminen poistaa tämän kuopan.
Varianssi- ja keskihajontaongelma
Oletetaan, että sinulle annetaan 10 datapistettä:
4, 7, 10, 5, 7, 6, 9, 8, 5, 9
Etsi keskiarvo, varianssi ja keskihajonta.
Lisää ensin 10 arvoa yhteen ja jaa 10 saadaksesi keskiarvon (keskiarvo):
70/10 = 7.0
Saadaksesi varianssin, neliö kunkin datapisteen ja keskiarvon ero, lisää ne yhteen ja jaa tulos (10 - 1) tai 9: llä:
- 7 - 4 = 3; 32 = 9
- 7 - 7 = 0; 02 = 0
- 7 - 10 = -3; (-3)2 = 9.. .
9 + 0 + 9 +... + 4 = 36
σ2= 36/9 = 4.0
Vakiopoikkeama σ on vain 4,0: n tai 2,0: n neliöjuuri.