Vaikka englanninkielisillä sanoilla "sekvenssi" ja "sarja" on samanlainen merkitys, matematiikassa ne ovat täysin erilaisia käsitteitä. Sekvenssi on luettelo määrätyssä järjestyksessä olevista numeroista, kun taas sarja on tällaisen numeroluettelon summa. On olemassa monenlaisia sekvenssejä, mukaan lukien ne, jotka perustuvat äärettömiin numeroluetteloihin. Eri sekvensseillä ja vastaavilla sarjoilla on erilaiset ominaisuudet ja ne voivat antaa yllättäviä tuloksia.
TL; DR (liian pitkä; Ei lukenut)
Sekvenssit ovat luetteloita numeroista, jotka on asetettu määrättyyn järjestykseen annettujen sääntöjen mukaisesti. Jaksoa vastaava sarja on kyseisen sarjan numeroiden summa. Sarjat voivat olla aritmeettisia, mikä tarkoittaa, että sarjan numeroiden välillä on kiinteä ero, tai geometrisia, mikä tarkoittaa, että on olemassa kiinteä tekijä. Äärettömillä sarjoilla ei ole lopullista lukua, mutta niillä voi silti olla kiinteä summa tietyissä olosuhteissa.
Jaksotyypit ja sarjat
Yleiset sekvenssit ovat aritmeettisia tai geometrisia. Aritmeettisessa sekvenssissä kukin sekvenssin numero tai termi eroaa edellisestä termistä samalla määrällä. Esimerkiksi, jos aritmeettinen sekvenssiero on 2, vastaava aritmeettinen sekvenssi voi olla 1, 3, 5... Jos ero on -3, sekvenssi voi olla 4, 1, -2... Aritmeettinen sekvenssi määritetään alkunumerolla ja erolla.
Geometrisillä sekvensseillä termit eroavat tekijällä. Esimerkiksi sekvenssi tekijällä 2 voi olla 2, 4, 8... ja sekvenssi kertoimella 0,75 voi olla 32, 24, 18... Geometrisen sekvenssin määrittävät alkuluku ja kerroin.
Sarjatyypit riippuvat lisätystä sekvenssistä. Aritmeettinen sarja lisää aritmeettisen sekvenssin ehdot ja geometrinen sarja lisää geometrisen sekvenssin.
Äärelliset ja äärettömät jaksot ja sarjat
Sekvenssit ja vastaavat sarjat voivat perustua kiinteään termien lukumäärään tai loputtomaan lukuun. Rajallisella sekvenssillä on aloitusnumero, ero tai tekijä ja kiinteä termien kokonaismäärä. Esimerkiksi edellä oleva aritmeettinen sekvenssi kahdeksalla termillä olisi 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15. Ensimmäinen geometrinen sekvenssi edellä kuudella termillä olisi 2, 4, 8, 16, 32, 64. Vastaavan aritmeettisen sarjan arvo olisi 64 ja geometrisen sarjan 126. Äärettömillä sekvensseillä ei ole kiinteää määrää termejä, ja niiden termit voivat kasvaa äärettömyyteen, laskea nollaan tai lähestyä kiinteää arvoa. Vastaavalla sarjalla voi olla myös ääretön, nolla tai kiinteä tulos.
Convergent and Divergent -sarjat
Äärettömät sarjat eroavat toisistaan, jos summa lähestyy ääretöntä, kun termien määrä kasvaa. Ääretön sarja on yhteneväinen, jos sen summa lähestyy ei-ääretöntä arvoa, kuten nollaa tai muuta kiinteää lukua. Sarjat ovat yhteneviä, jos taustalla olevan sekvenssin ehdot lähestyvät nopeasti nollaa.
Sarja, johon lisätään ääretön sekvenssi 1, 2, 4... on erilainen, koska sekvenssin ehdot kasvavat jatkuvasti, jolloin summa voi saavuttaa ääretön arvon termien määrän kasvaessa. Sarjat 1, 0,5, 0,25... on lähentynyt, koska termeistä tulee nopeasti hyvin pieniä.
Vaikka sekvenssit ovat järjestettyjä numeroluetteloita ja sarjat ovat summia, molemmat voivat olla tärkeitä työkaluja arvioimalla numerosarjoja ja lähentymisen tai divergenssin ominaisuuksilla voi olla todellista elämää vaikutuksia. Divergenttinen sarja edustaa usein epävakaata tilaa, kun taas konvergenttisarja tarkoittaa usein prosessin tai rakenteen olevan vakaa.
