Implisiittinen erottelu on tekniikka, jota käytetään määrittämään funktion johdannainen muodossa y = f (x).
Oppiaksesi implisiittisen erottelun käytöstä voimme käyttää menetelmää yksinkertaisessa esimerkissä ja tutkia sitten monimutkaisempia tapauksia.
Implisiittinen erottelu on vain eriyttämistä
Vaikka se kuulostaa monimutkaisemmalta, implisiittisessä erottelussa käytetään samaa matematiikkaa ja taitoja kuin peruserottelussa. Tärkeää on kuitenkin huomata, että riippuvainen muuttujamme näkyy nyt itse toiminnossa.
Ota yksinkertainen yhtälö, kuten xy = 1. On olemassa kaksi tapaa löytää johdannainen y kunnioittaen xtai dy / dx. Ensinnäkin voimme yksinkertaisesti ratkaista y ja käytä tehosääntöä johdannaisille. Tällöin saadaan: y = 1 / x. Tehosäännön soveltaminen paljastaisi, että dy / dx = -1 / x2.
Voimme myös tehdä tämän ongelman käyttämällä implisiittistä erottelua. Onneksi tiedämme jo vastauksen (sen pitäisi olla sama riippumatta siitä, miten laskemme sen), joten voimme tarkistaa työmme!
Aloita soveltamalla johdannainen yhtälön xy = 1 molemmille puolille. Sitten d / dx (xy) = d / dx (1); selvästi oikea puoli on nyt yhtä suuri kuin 0, mutta vasen puoli vaatii ketjusääntöä. Tämä johtuu siitä, että otamme johdannaisen toiminnastamme,
y, kun taas se kerrotaan toiseen tekijään x. Tämän laskemiseksi: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Käytämme alkumerkintää osoittamaan johdannainen suhteessa x.Yhtälön uudelleenkirjoittaminen tuottaa: y + xy '= 0. On aika ratkaista y ' yhtälössä! Selvästi y '= -y / x. Mutta alkuperäisiä tietoja käyttämällä tiedämme, että y = 1 / x, joten voimme korvata tämän takaisin. Kun teemme sen, näemme, että y '= -1 / x2, aivan kuten löysimme aiemmin.
Implisiittinen erottelu synnin johdannaisen määrittämiseksi (xy)
Y = sin (xy) -johdannaisen määrittämiseksi käytämme implisiittistä erottelua muistamalla, että (d / dx) y = y '.
Levitä ensin johdannainen yhtälön molemmille puolille: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Yhtälön vasen puoli on selvästi y ', johon meidän on ratkaistava, mutta oikea puoli vaatii jonkin verran työtä; erityisesti ketjusääntö ja tuotesääntö. Ensinnäkin ketjusääntöä on sovellettava syntiin (xy) ja sitten tuotesääntö argumentille xy. Onneksi olemme jo laskeneet tämän tuotesäännön.
Seuraavaksi yksinkertaistamalla saadaan: y '= cos (xy) (y + xy').
Tämä yhtälö on selvästikin ratkaistava y ' sen määrittämiseksi, miten y ' on sukua x ja y.
Eristää kaikki termit y ' toisella puolella: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).
Ota sitten huomioon y ' saadaksesi: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).
Nyt näemme, että y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).
Yksinkertaistaminen on välttämätöntä, mutta koska toimintomme on määritelty rekursiivisesti, y = sin (xy) kytkeminen ei todennäköisesti tuota tyydyttävää ratkaisua. Tässä tapauksessa lisätietoja tai kehittyneempi menetelmä näiden yhtälöiden piirtämiseksi voi olla hyödyllistä.
Implisiittisen eriyttämisen yleiset vaiheet
Ensinnäkin, muista, että implisiittinen erilaistuminen perustuu siihen, että yksi muuttujista on toisen funktio. Yleensä funktiot näkyvät muodossa y = f (x), mutta voidaan kirjoittaa funktio x = f (y). Ole varovainen lähestyessäsi näitä ongelmia selvittääksesi, mikä muuttuja on riippuvainen toisesta.
Muista seuraavaksi soveltaa johdannaissääntöjä huolellisesti. Epäsuora erottelu vaatii ketjusäännön hyvin usein, samoin kuin tuotesäännön ja osamissäännön. Näiden menetelmien oikea soveltaminen on välttämätöntä lopullisen vastauksen määrittämiseksi.
Lopuksi ratkaise haluttu johdannainen eristämällä se ja yksinkertaistamalla lausekkeita mahdollisimman paljon.