Heilurin liikkeen lait

Heilureilla on mielenkiintoisia ominaisuuksia, joita fyysikot käyttävät kuvaamaan muita esineitä. Esimerkiksi planeetan kiertorata seuraa samanlaista mallia, ja heiluminen swing-sarjassa voi tuntua heilurilla. Nämä ominaisuudet tulevat sarjasta lakeja, jotka säätelevät heilurin liikettä. Oppimalla nämä lait voit alkaa ymmärtää joitain fysiikan ja liikkeen perusperiaatteita.

Heilurin liike voidaan kuvata käyttämällä

jossaθedustaa merkkijonon ja pystysuoran viivan välistä kulmaa keskeltä alaspäin,tedustaa aikaa jaTon jakso, aika, joka tarvitaan heilurin yhden kokonaisen syklin esiintymiseen (mitattuna1 / f) heilurin liikkeen.

​Yksinkertainen harmoninen liiketai liikettä, joka kuvaa kohteen nopeuden värähtelyä suhteessa tasapainon siirtymän määrään, voidaan käyttää heilurin yhtälön kuvaamiseen. Heilurin bobin heiluminen pidetään liikkeessä tällä voimalla, joka vaikuttaa siihen edestakaisin.

•••Syed Hussain Ather

Heilurin liikkumista säätelevät lait johtivat tärkeän omaisuuden löytämiseen. Fyysikot hajottavat voimat pysty- ja vaakakomponentiksi. Heilurin liikkeessäkolme voimaa vaikuttaa suoraan heiluriin: bobin massa, painovoima ja narun jännitys. Massa ja painovoima toimivat molemmat pystysuunnassa alaspäin. Koska heiluri ei liiku ylös tai alas, merkkijonon kireyden pystykomponentti poistaa massan ja painovoiman.

Tämä osoittaa, että heilurin massalla ei ole merkitystä sen liikkeelle, mutta vaakasuora merkkijono kiristää. Yksinkertainen harmoninen liike on samanlainen kuin pyöreä liike. Voit kuvata ympyräradalla liikkuvaa kohdetta yllä olevan kuvan mukaisesti määrittämällä kulman ja säteen, jonka se kuluttaa vastaavalla pyöreällä polullaan. Sitten käyttämällä ympyrän keskipisteen, kohteen sijainnin ja siirtymän molempiin suuntiin x ja y välisen suorakulmion trigonometriaa, löydät yhtälötx = rsin (θ)jay = rcos (θ).​

Kohteen yksidimensionaalinen yhtälö yksinkertaisessa harmonisessa liikkeessä saadaanx = r cos (ωt).Voit korvata edelleenAvartenrjossaAonamplitudi, suurin siirtymä kohteen alkuasennosta.

Kulmanopeusωajan suhteentnäille kulmilleθantaaθ = ωt. Jos korvaat yhtälön, joka suhteuttaa kulmanopeuden taajuuteenf​, ​ω = 2​​πf, voitte kuvitella tämän pyöreän liikkeen, sitten osana heiluria, joka heiluu edestakaisin, tuloksena oleva yksinkertainen harmoninen liikeyhtälö on

•••Syed Hussain Ather

Heilurit, kuten lähteen massat, ovat esimerkkejäyksinkertaiset harmoniset oskillaattorit: Palautusvoima kasvaa riippuen heilurin siirtymisestä, ja niiden liike voidaan kuvata käyttämälläyksinkertainen harmoninen oskillaattoriyhtälö​

jossaθedustaa merkkijonon ja pystysuoran viivan välistä kulmaa keskeltä alaspäin,tedustaa aikaa jaTonaikana, aika, joka tarvitaan heilurin yhden kokonaisen syklin esiintymiseen (mitattuna1 / f) heilurin liikkeen.

​θ_eninton toinen tapa määritellä enimmäiskulma, joka heiluu heilurin liikkeen aikana, ja toinen tapa määrittää heilurin amplitudi. Tämä vaihe selitetään alla kohdassa "Yksinkertainen heilurin määritys".

Toinen yksinkertaisen heilurin lakien merkitys on, että vakiopituinen värähtelyjakso on riippumaton merkkijonon päässä olevan koon, muodon, massan ja materiaalista. Tämä näkyy selvästi yksinkertaisella heilurijohdannaisella ja tuloksena olevilla yhtälöillä.

Voit määrittää yhtälön a: lleyksinkertainen heiluri, määritelmä, joka riippuu yksinkertaisesta harmonisesta oskillaattorista sarjasta vaiheita, jotka alkavat heilurin liikkeen yhtälöllä. Koska heilurin painovoima on sama kuin heilurin liikkeen voima, voit asettaa ne yhtä suuriksi toistensa kanssa käyttämällä Newtonin heilumassan toista lakiaM, merkkijonon pituusL, kulmaθ,painovoiman kiihtyvyysgja aikavälit​.

•••Syed Hussain Ather

Asetat Newtonin toisen lain yhtä suureksi kuin hitausmomenttiI = herra²jonkinlaiselle massallemja pyöreän liikkeen säde (merkkijonon pituus tässä tapauksessa)rkertaa kulmakiihtyvyysα​.

1. ​ΣF = Ma: Newtonin toisen lain mukaan nettovoima.FKohde on yhtä suuri kuin kohteen massa kerrottuna kiihtyvyydellä.
2. ​Ma = I a: Tämän avulla voit asettaa gravitaatiokiihdytyksen voiman (-Mg synti (θ) L)yhtä suuri kuin pyörimisvoima
   
3. ​-Mg sin (θ) L = I a​: Voit saada pystysuuntaisen voiman suunnan painovoiman vuoksi (-Mg) laskemalla kiihtyvyys muodossasynti (θ) Ljossin (θ) = d / Ljoillekin vaakasuuntaisille siirtymilledja kulmaθ​ ottaa huomioon suunta.
   
4. ​-Mg sin (θ) L = ML² α: Korvataan pyörivän rungon hitausmomentin yhtälö käyttämällä säteenä merkkijonon pituutta L.
   
5. ​-Mg sin (θ) L = -ML²​​d²θ / dt: Ota huomioon kulmakiihtyvyys korvaamalla kulman toinen derivaatti ajan suhteenα.Tämä vaihe vaatii laskennan ja differentiaaliyhtälöt.
   
6. ​d²θ / dt² + (g / L) sin = 0: Voit saada tämän järjestämällä yhtälön molemmat puolet uudelleen
   
7. ​d²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Voit arvioidasynti (θ)kutenθyksinkertaisen heilurin tarkoituksiin hyvin pienillä värähtelykulmilla
   
8. ​θ (t) = θ_enintcos (t (L / g)²): Liikkeen yhtälöllä on tämä ratkaisu. Voit vahvistaa sen ottamalla tämän yhtälön toisen johdannaisen ja työskentelemällä saadaksesi vaiheen 7.

On olemassa muita tapoja tehdä yksinkertainen heilurijohdannainen. Ymmärrä jokaisen vaiheen merkitys nähdäksesi, miten ne liittyvät toisiinsa. Voit kuvata yksinkertaista heiluriliikettä näiden teorioiden avulla, mutta sinun on otettava huomioon myös muut tekijät, jotka voivat vaikuttaa yksinkertaiseen heiluriteoriaan.

Jos verrataan tämän johdannon tulosta

yksinkertaisen harmonisen oskillaattorin yhtälöönby asettamalla ne yhtä suuriksi, voit johtaa kaavan T yhtälön:

Huomaa, että tämä yhtälö ei riipu massastaMheilurin amplitudiθ_enint, eikä aikaant. Tämä tarkoittaa, että jakso on riippumaton massasta, amplitudista ja ajasta, mutta se riippuu sen sijaan merkkijonon pituudesta. Se antaa sinulle ytimekkään tavan ilmaista heilurin liikettä.

Jakson kaavalla voit järjestää yhtälön uudelleen saadaksesi

ja korvaa 1 sekuntiTja9,8 m / s²vartengsaada haltuunsaL =0,0025 m. Pidä mielessä nämä yksinkertaisen heiluriteorian yhtälöt olettaen, että merkkijonon pituus on kitkaton ja massaton. Näiden tekijöiden huomioon ottaminen edellyttäisi monimutkaisempia yhtälöitä.

Voit vetää heilurin takakulmaaθantaa sen heilua edestakaisin nähdäksesi sen värähtelevän aivan kuten jousi saattaa. Yksinkertaiselle heilurille voit kuvata sen käyttämällä yksinkertaisen harmonisen oskillaattorin liikeyhtälöitä. Liikkeen yhtälö toimii hyvin pienemmillä kulma- jaamplitudi, suurin kulma, koska yksinkertainen heilurimalli perustuu siihen likiarvoonsynti (θ)​ ≈ ​θjoillekin heilurikulmalleθ.Kun arvokulmat ja amplitudit kasvavat yli noin 20 astetta, tämä likiarvo ei toimi yhtä hyvin.

Kokeile itse. Heiluri heiluu suurella alkukulmallaθei värähtele niin säännöllisesti, jotta voit käyttää yksinkertaista harmonista oskillaattoria sen kuvaamiseen. Pienemmässä alkukulmassaθ, heiluri lähestyy säännöllistä, värähtelyliikettä paljon helpommin. Koska heilurin massalla ei ole merkitystä sen liikkeelle, fyysikot ovat todistaneet, että kaikilla heilureilla on sama värähtelyjakso kulmat - kulma heilurin keskipisteen korkeimmasta kohdasta ja heilurin keskikohdasta pysäytetyssä asennossaan - alle 20 astetta.

Kaikissa liikkeessä olevan heilurin käytännön tarkoituksissa heiluri lopulta hidastuu ja pysähtyy kitka narun ja sen yläpuolella olevan kiinnityskohdan välillä sekä heilurin ja ilman välisen ilmanvastuksen vuoksi sen ympärillä.

Käytännön esimerkkejä heilurin liikkeestä jakso ja nopeus riippuvat käytetyn materiaalin tyypistä, joka aiheuttaisi nämä kitkan ja ilmankestävyyden esimerkit. Jos teet laskelmia teoreettisen heilurin värähtelykäyttäytymisestä ottamatta huomioon näitä voimia, se ottaa huomioon heilurin, joka heilahtaa loputtomasti.

Newtonin ensimmäinen laki määrittelee esineiden nopeuden vastauksena voimiin. Lain mukaan jos esine liikkuu tietyllä nopeudella ja suoralla linjalla, se jatkaa liikkumistaan ​​tällä nopeudella ja suoralla linjalla äärettömästi, kunhan siihen ei kohdistu mitään muuta voimaa. Kuvittele, että heität pallon suoraan eteenpäin - pallo kiertäisi maata ympäri ja uudestaan, ellei ilman vastus ja painovoima vaikuttaisi siihen. Tämä laki osoittaa, että koska heiluri liikkuu puolelta toiselle eikä ylös ja alas, sillä ei ole siihen vaikuttavia ylös- ja alaspäin suuntautuvia voimia.

Newtonin toista lakia käytetään heilurin nettovoiman määrittämiseen asettamalla gravitaatiovoima yhtä suuri kuin merkkijono, joka vetää takaisin heiluriin. Kun nämä yhtälöt asetetaan yhtä suuriksi, voit johtaa heilurin liikeyhtälöt.

Newtonin kolmas laki sanoo, että jokaisella toiminnalla on samanvoimainen reaktio. Tämä laki toimii ensimmäisen lain kanssa, joka osoittaa, että vaikka massa ja painovoima kumoavat merkkijonojännitysvektorin pystykomponentin, mikään ei peruuta vaakakomponenttia. Tämä laki osoittaa, että heiluriin vaikuttavat voimat voivat peruuttaa toisensa.

Fyysikot käyttävät Newtonin ensimmäistä, toista ja kolmatta lakia todistaakseen, että merkkijonon vaakajännitys siirtää heiluria massaan tai painovoimaan riippumatta. Yksinkertaisen heilurin lait noudattavat Newtonin kolmen liikelain ideoita.