Mõisteomaväärtusedon ebaselge, kuid on matemaatikute ja füüsikateadlaste jaoks väga kasulik, kui neil on probleeme.
Omaväärtuse mõistmiseks kujutage ette funktsiooni olemasolu (nty = x2 + 6xvõiy= log 4x), mille võiksite läbi viia nii, et tulemus oleks sama, kui korrutada kogu funktsioon konstantse väärtusega. Selline funktsioon kvalifitseeruks kuiomafunktsioonja konstant oleks omaväärtus.
- "Eigen" on saksa keeles "sama".
Omaväärtuste ja funktsioonifunktsioonide kõige paremaks mõistmiseks ning omaväärtuste ise arvutamiseks on vaja põhiteadmisi maatriksitest. Neid matemaatilisi nippe kasutatakse NO sidemete järjestuse määramiseks2 (lämmastikdioksiid) ja muud molekulid, kuna elektronide käitumine aatomites määratakse lainefunktsioonide abil, mis kvalifitseeruvad omafunktsioonideks.
Mis on maatriks?
Maatriks on ridadesse ja veergudesse järjestatud numbrite massiiv, mis võib olla vahemikus 1 kunin. Maatriksite mõõtmed on toodud rea kaupa; näiteks järgmine on 2-by-3 maatriks:
\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Maatriksid saab kokku liita, kui need on sama suurusega (see tähendab, et neil on sama arv ridu ja sama arv veerge). Neid saab samades tingimustes korrutada ka järkjärgulise protsessiga. Lisaks saab mis tahes maatriksi korrutada vektoriga, mis on ükshaavalnvõin-ma-1 maatriks; see hõlmab ka teisi vektoreid.
Mis on omaväärtuse võrrand?
Ütle, et sul onn-kõrval-nvõi "ruudukujuline" maatriksA, mitte nulln-vektori järgivja skalaarλ, nii et järgmine võrrand on täidetud:
\ bold {Av} = λ \ bold {v}
Mis tahes väärtusλmille jaoks sellel võrrandil on lahendus, nimetatakse maatriksi omaväärtuseksA.
Ärge laske oma meelel käsitleda ülaltoodud väljendeid tootena.Aon anoperaatorvektoril või selle lineaarne teisendaminev, see arvutus on võimalik ainult seetõttu, etAjavmõlemal onnread.
Miks kasutada omaväärtuse funktsioone?
Tuletamine on keeruline, kuid aatomikeemias kasutatakse süsteemi kineetilise ja potentsiaalse energia väljendamiseks Hamiltoni operaatorit "H-bar":
\ müts H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ müts V (x, y, z)
Seda kasutatakse vormi kirjutamiseksSchrodingeri lainefunktsiooni võrrandkvantmehaanikas:
\ müts Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
SiinEtähistab seda võrrandit rahuldavaid omaväärtusi.
Maatriksi omaväärtuste leidmise viisid
Võrrandist Av = λv saadA v − λv=0. See viib:
\ bold {A v} - λ (\ bold {I v}) = 0
KusMinaon 2-ha-2 identiteedi maatriks ridadega [λ0] ja [0λ], mis viib skaalaga korrutatuna 1-niλ. See tulemus annab:
(\ bold {A} - λ \ bold {I}) \ bold {v} = 0
Mis siis, kuivei ole null, on lahendus ainult siis, kui absoluutväärtus onA− λMinavõi |A − λMina| on null. Kui teete neid käsitsi, hõlmab see ruutvõrrandi lahendamist ja võib olla tüütu.
Kahe maatriksi korrutamiseks korrutate iga maatriksipunkti jaoks vastavad punktid koos ja lisage see selle rea ja veeru, kuhu uus punkt, järelejäänud rea ja veeru elementide toodetele kuulub.
Kahe 2-by-2 maatriksi korrutamiselAjaBkoos, kui esimene ridaAon [1 3] ja veeru esimene veergBon [2 5], oleks uue maatriksi esimeses veerus ja reas olev number [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15 ja vastavalt ülejäänud kolme punkti puhul.
Arvutage omaväärtused võrgus
Ressurssidest leiate maatriksi arvutamise tööriista, mis võimaldab teil leida peaaegu igasuguse mõeldava suurusega maatriksi omaväärtusi ja palju muud.