Polünoomi juuri nimetatakse ka selle nullideks, sest juured onxväärtused, mille korral funktsioon võrdub nulliga. Juurte tegelikult leidmisel on teie käsutuses mitu tehnikat; faktooring on meetod, mida kõige sagedamini kasutate, kuigi ka graafikute koostamine võib olla kasulik.
Mitu juurt?
Uurige polünoomi kõrgeima astme terminit - see tähendab kõrgeima astmega terminit. See eksponent on see, kui palju juuri polünoomil on. Nii et kui teie polünoomi kõrgeim eksponent on 2, on sellel kaks juurt; kui kõrgeim eksponent on 3, on sellel kolm juurt; ja nii edasi.
Hoiatused
-
Siin on konks: polünoomi juured võivad olla tõelised või kujuteldavad. "Päris" juured on reaalarvudena tuntud kogumi liikmed, mis on teie matemaatikakarjääri praeguseks hetkeks iga number, millega olete harjunud tegelema. Kujuteldavate arvude valdamine on täiesti erinev teema, seega pidage praegu meeles vaid kolme asja:
- "Kujuteldavad" juured kasvavad siis, kui teil on negatiivse arvu ruutjuur. Näiteks √ (-9).
- Kujuteldavad juured tulevad alati paarikaupa.
- Polünoomi juured võivad olla reaalsed või kujuteldavad. Nii et kui teil on 5. astme polünoom, võib sellel olla viis tegelikku juurt, sel võib olla kolm tõelist juurt ja kaks väljamõeldud juurt jne.
Juurte leidmine faktooringu abil: näide 1
Kõige mitmekülgsem viis juurte leidmiseks on oma polünoomi võimalikult palju faktooring ja seejärel määrata iga termin võrdseks nulliga. See on palju mõttekam, kui olete paar näidet läbi vaadanud. Vaatleme lihtsat polünoomix2 – 4x:
Lühike uuring näitab, et saate arvestadaxpolünoomi mõlemast terminist välja, mis annab teile:
x (x - 4)
Määra iga termin nulli. See tähendab kahe võrrandi lahendamist:
x = 0
on esimene nullis olev termin ja
x - 4 = 0
on teine nulli seatud termin.
Esimese ametiaja lahendus on teil juba olemas. Kuix= 0, siis on kogu avaldis võrdne nulliga. Niisiisx= 0 on polünoomi üks juure või null.
Mõelge nüüd teisele terminile ja lahendage seex. Kui lisate mõlemale küljele 4, saate:
x - 4 + 4 = 0 + 4
mis lihtsustab:
x = 4
Nii et kuix= 4, siis on teine tegur võrdne nulliga, mis tähendab, et ka kogu polünoom võrdub nulliga.
Kuna algne polünoom oli teise astme (kõrgeim eksponent oli kaks), teate, et selle polünoomi jaoks on ainult kaks võimalikku juurt. Mõlemad olete juba leidnud, nii et peate vaid need loetlema:
x = 0, x = 4
Juurte leidmine faktooringuga: näide 2
Siin on veel üks näide selle kohta, kuidas fakteerimisega juuri leida, kasutades selleks mõnda väljamõeldud algebrat. Vaatleme polünoomix4 – 16. Kiire pilk selle eksponentidele näitab, et sellel polünoomil peaks olema neli juurt; nüüd on aeg need üles leida.
Kas märkasite, et selle polünoomi saab ruutude vahena ümber kirjutada? Nii et selle asemelx4 - 16, teil on:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Mis, kasutades ruutude erinevuse valemit, arvestab järgmist:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Esimene termin on jällegi ruutude vahe. Nii et kuigi te ei saa enam parempoolset terminit arvesse võtta, saate vasakul oleva sõna veel ühe sammu võrra arvutada:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Nüüd on aeg leida nullid. Kiiresti saab selgeks, et kuix= 2, võrdub esimene tegur nulliga ja seega kogu avaldis võrdub nulliga.
Samamoodi, kuix= −2, võrdub teine tegur nulliga ja seega kogu avaldis.
Niisiisx= 2 jax= −2 on selle polünoomi mõlemad nullid või juured.
Aga kuidas on selle viimase ametiajaga? Kuna sellel on astend "2", peaks sellel olema kaks juurt. Kuid te ei saa seda väljendit arvestada, kasutades harjumuspäraseid tegelikke numbreid. Peaksite kasutama väga arenenud matemaatilist kontseptsiooni, mida nimetatakse kujuteldavateks numbriteks või, kui soovite, kompleksarvudeks. See on kaugel teie praeguse matemaatika praktika raamidest, nii et praegu piisab, kui märkida, et teil on kaks tõelist juurt (2 ja −2) ja kaks kujuteldavat juurt, mille jätate määramata.
Juurte leidmine graafikute abil
Juured leiate või vähemalt saate hinnata graafikute abil. Iga juur tähistab kohta, kus funktsiooni graafik ristubxtelg. Nii et kui joonestate joone ja siis märkige ülesxkoordinaadid, kus joon ületabxtelje, saate sisestada hinnangulisexnende punktide väärtused oma võrrandisse ja kontrollige, kas olete need õigeks saanud.
Mõelge polünoomi jaoks esimesele näitele, mida töötasitex2 – 4x. Kui joonistate selle ettevaatlikult välja, näete, et joon ületabxtelje juuresx= 0 jax= 4. Kui sisestate kõik need väärtused algvõrrandisse, saate:
0^2 - 4(0) = 0
niix= 0 oli selle polünoomi jaoks kehtiv null või juur.
4^2 - 4(4) = 0
niix= 4 on selle polünoomi jaoks ka kehtiv null või juur. Ja kuna polünoom oli 2. astmega, saate teada, et võite kahe juure leidmise lõpetada.