Absoluutväärtuste ebavõrdsuste lahendamine sarnaneb absoluutväärtuste võrrandite lahendamisega, kuid meeles on veel paar lisadetaili. See aitab juba absoluutväärtuste võrrandite lahendamisel mugav olla, kuid see on okei, kui õpite neid ka koos!
Absoluutväärtuse ebavõrdsuse määratlus
Esiteks anabsoluutväärtuse ebavõrdsuson ebavõrdsus, mis hõlmab väärtuse absoluutset väljendamist. Näiteks,
| 5 + x | - 10> 6
on absoluutväärtusega ebavõrdsus, kuna sellel on ebavõrdsuse märk,> ja absoluutväärtuse avaldis | 5 +x |.
Kuidas lahendada absoluutväärtuste ebavõrdsus
Thesammud absoluutväärtuse ebavõrdsuse lahendamisekssarnanevad absoluutväärtuse võrrandi lahendamise sammudega:
Samm 1:Isoleerige absoluutväärtuse avaldis ebavõrdsuse ühel küljel.
2. samm:Lahendage ebavõrdsuse positiivne "versioon".
3. samm:Lahendage ebavõrdsuse negatiivne "versioon", korrutades ebavõrdsuse teisel küljel oleva koguse −1-ga ja keerates ebavõrdsuse märgi.
Seda on korraga palju võtta, nii et siin on näide, mis juhatab teid läbi sammude.
Lahendage ebavõrdsusx:
| 5 + 5x | - 3> 2
Selleks hankige | 5 + 5x| iseenesest ebavõrdsuse vasakul küljel. Kõik, mida peate tegema, on lisada mõlemale küljele 3:
| 5 + 5x | - 3 + 3> 2 + 3 \\ | 5 + 5x | > 5.
Nüüd on ebavõrdsusest, mida peame lahendama, kaks "versiooni": positiivne "versioon" ja negatiivne "versioon".
Selle sammu puhul eeldame, et asjad on nii, nagu need näivad: see on 5 + 5x > 5.
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5
See on lihtne ebavõrdsus; peate lihtsalt lahendamaxnagu tavaliselt. Lahutage mõlemalt poolt 5 ja jagage mõlemad pooled 5-ga.
\ begin {joondatud} & 5 + 5x> 5 \\ & 5 + 5x - 5> 5 - 5 \ quad \ text {(lahuta mõlemalt poolt viis)} \\ & 5x> 0 \\ & 5x (÷ 5)> 0 (÷ 5) \ quad \ text {(jagage mõlemad pooled viieks)} \\ & x> 0 \ end {joondatud}
Pole paha! Nii et üks võimalik lahendus meie ebavõrdsusele on seex> 0. Kuna kaasatud on absoluutväärtused, on aeg mõelda teisele võimalusele.
Selle järgmise natuke mõistmiseks aitab meeles pidada, mida tähendab absoluutväärtus.Absoluutne väärtusmõõdab numbri kaugust nullist. Kaugus on alati positiivne, seega 9 on nullist üheksa ühiku kaugusel, kuid −9 on ka üheksa ühiku kaugusel nullist.
Nii | 9 | = 9, kuid | −9 | = 9 samuti.
Nüüd pöörduge tagasi ülaltoodud probleemi juurde. Ülaltoodud töö näitas, et | 5 + 5x| > 5; teisisõnu, "millegi" absoluutväärtus on suurem kui viis. Nüüd on iga suurem kui viis positiivset arvu nullist kaugemal kui viis. Nii et esimene variant oli see, et "midagi", 5 + 5x, on suurem kui 5.
See on:
5 + 5x> 5
See on ülaltoodud stsenaarium, 2. samm.
Mõelge nüüd veidi edasi. Mis on veel viis ühikut nullist eemal? Noh, negatiivne viis on. Ja miski negatiivsest viiest numbrireal edasi jääb nullist veelgi kaugemale. Nii et meie "midagi" võib olla negatiivne arv, mis on nullist kaugemal kui negatiivne viis. See tähendab, et see oleks suurema kõlaga number, kuid tehniliseltvähem kuinegatiivne viis, sest see liigub numbrireal negatiivses suunas.
Nii et meie "miski", 5 + 5x, võib olla väiksem kui −5.
5 + 5x
Kiire viis seda algebraliselt teha on korrutada ebavõrdsuse teisel küljel olev kogus 5 negatiivsega ja seejärel pöörata ebavõrdsuse märk:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x
Seejärel lahendage nagu tavaliselt.
\ begin {joondatud} & 5 + 5x
Nii et ebavõrdsuse kaks võimalikku lahendust onx> 0 võix< −2. Kontrollige ennast, ühendades mõned võimalikud lahendused, veendumaks, et ebavõrdsus püsib.
Absoluutne väärtuse ebavõrdsus ilma lahenduseta
On stsenaarium, kus oleksabsoluutväärtuste ebavõrdsusele pole lahendusi. Kuna absoluutväärtused on alati positiivsed, ei saa need olla võrdsed või väiksemad kui negatiivsed arvud.
Nii |x| lahendust polesest absoluutväärtuse avaldise tulemus peab olema positiivne.
Intervallide tähistamine
Kirjutada lahendus meie peamisele näitele aastalintervallmärkimine, mõelge, kuidas lahendus numbrireal välja näeb. Meie lahendus olix> 0 võix< −2. Numbrireal on see avatud punkt 0 juures, sirge ulatub positiivse lõpmatuseni ja avatud punkt −2 juures, sirge pikeneb negatiivse lõpmatuseni. Need lahendused osutavad teineteisele eemale, mitte üksteise poole, nii et võtke iga tükk eraldi.
Kui numbrireal on x> 0, on nullil avatud punkt ja seejärel sirge, mis ulatub lõpmatuseni. Intervallide tähistamisel illustreeritakse avatud punkti sulgudes () ja suletud punkt või ebavõrdsus ≥ või ≤ kasutaks sulgusid []. Nii etx> 0, kirjutage (0, ∞).
Teine pool,x
"Või" intervallmärkides on liitmärk, ∪.
Nii et lahendus intervallide tähistamisel on
( −∞, −2) ∪ (0, ∞)