Kuidas leida tuletisi

Üks olulisi toiminguid, mida te arvutuses teete, on tuletiste leidmine. Funktsiooni tuletist nimetatakse ka selle funktsiooni muutumiskiiruseks. Näiteks kui x (t) on auto asukoht igal ajal t, siis x tuletis, mis on kirjutatud dx / dt, on auto kiirus. Samuti saab tuletist visualiseerida kui funktsiooni graafikut puutuva sirge kallet. Teoreetilisel tasemel leiavad matemaatikud tuletisi. Praktikas kasutavad matemaatikud põhireeglite komplekte ja otsingu tabeleid.

Kahe punkti vahelise joone kalle on tõus või erinevus y väärtustes jagatuna jooksuga või erinevus x väärtustes. Funktsiooni y (x) kalle teatud x väärtuse jaoks on määratletud kui joone kalle, mis puutub funktsioonis punktis [x, y (x)]. Kallakuse arvutamiseks koostate sirge punkti [x, y (x)] ja lähedal asuva punkti [x + h, y (x + h)] vahel, kus h on väga väike arv. Selle rea puhul on jooksu väärtus või muutus x väärtuses h ja tõusu või muutust y väärtuses y (x + h) - y (x). Järelikult on y (x) kalle punktis [x, y (x)] ligikaudu võrdne [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. Kallaku täpseks saamiseks arvutage kalle väärtus, kui h muutub järjest väiksemaks, kuni piirini, kus see läheb nulli. Sel viisil arvutatud kalle on y (x) tuletis, mis on kirjutatud kui y ’(x) või dy / dx.

Kallaku / piirmeetodi abil saate arvutada funktsioonide tuletised, kus y võrdub x väärtusega a või y (x) = x ^ a. Näiteks kui y võrdub x kuupiga, on y (x) = x ^ 3, siis on dy / dx piir, kuna h läheb nulli [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Laiendades (x + h) ^ 3, saadakse [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, mis pärast jagamist väheneb väärtuseni 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 poolt h. Piiril, kui h läheb nulli, lähevad kõik terminid, milles on h, ka nulli. Niisiis, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Seda saate teha väärtuste puhul, mis pole 3, ja üldiselt saate näidata, et d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).

Paljusid funktsioone võib kirjutada nii, et neid nimetatakse võimsuseeriateks, mis on lõpmatu arvu terminite summa, kus kumbki on kujul C (n) x ^ n, kus x on muutuja, n on täisarv ja C (n) on konkreetne arv iga väärtuse jaoks n. Näiteks siinusfunktsiooni võimsuse rida on Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., kus „...” tähendab termineid, mis jätkuvad lõpmatuseni. Kui teate funktsiooni võimsuse seeriat, saate funktsiooni tuletise arvutamiseks kasutada võimsuse x ^ n tuletist. Näiteks on Sin (x) tuletis võrdne 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., mis juhtumisi on Cos (x) astmeseeria.

Põhifunktsioonide nagu x ^ a, eksponentsiaalsete funktsioonide, logifunktsioonide ja trigeri funktsioonide tuletised leitakse kalde / piiri meetodi, võimsuse rea meetodi või muude meetodite abil. Need derivaadid on seejärel loetletud tabelites. Näiteks võite otsida, et Sin (x) tuletis on Cos (x). Kui keerukad funktsioonid on põhifunktsioonide kombinatsioonid, vajate spetsiaalseid reegleid nagu ahelreegel ja tootereegel, mis on samuti toodud tabelites. Näiteks kasutate ahelreeglit, et leida, et Sin (x ^ 2) tuletis on 2xCos (x ^ 2). Toote reegli abil leiate, et xSin (x) tuletis on xCos (x) + Sin (x). Tabelite ja lihtsate reeglite abil leiate mis tahes funktsiooni tuletise. Kuid kui funktsioon on äärmiselt keeruline, pöörduvad teadlased mõnikord abi saamiseks arvutiprogrammide poole.