Kõik matemaatikaõpilased ja paljud reaalainete üliõpilased kohtuvad õppimise ajal mingil etapil polünoomidega, kuid õnneks on nendega lihtne toime tulla, kui olete põhitõed ära õppinud. Peamised toimingud, mida peate tegema polünoomväljenditega, on liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine ja kuigi jagamine võib olla keeruline, suudate enamasti põhitõdedega hakkama saada kergust.
Polünoomid: määratlus ja näited
Polünoom kirjeldab algebralist avaldist, milles on üks või mitu muutujat (või mitut) hõlmavat terminit, koos eksponentide ja võib-olla ka konstantidega. Need ei tohi hõlmata jagamist muutujaga, neil ei saa olla negatiivseid ega murdarvulisi eksponente ja neil peab olema piiratud arv termineid.
See näide näitab polünoomi:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
Ja see näitab veel ühte:
xy ^ 2 - 3 x + y
Polünoomide klassifitseerimiseks on palju viise, sealhulgas kraadi järgi (kõrgeima astmega eksponentide summa, nt 3 esimene näide) ja nende terminite arvu järgi, nagu monomiaalid (üks termin), binoomid (kaks terminit) ja trinoomid (kolm tingimused).
Polünoomide liitmine ja lahutamine
Polünoomide liitmine ja lahutamine sõltub terminite "nagu" ühendamisest. Sarnane termin on sama, millel on samad muutujad ja eksponendid kui teisel, kuid nende korrutatud arv (koefitsient) võib olla erinev. Näiteks,x2 ja 4x 2 on nagu terminid, kuna neil on sama muutuja ja astendaja ning 2xy 4 ja 6xy 4 on nagu terminid ka. Kuid,x2, x3, x2y2 jay2 ei ole nagu terminid, sest igaüks neist sisaldab erinevaid muutujate ja eksponentide kombinatsioone.
Polünoomide lisamiseks kombineerige sarnaseid termineid samamoodi nagu teiste algebraliste terminitega. Näiteks vaadake probleemi:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + y)
Koguge sarnaseid termineid, et saada:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Ja seejärel hinnake, lisades koefitsiendid ja ühendades need ühtseks terminiks:
10 x ^ 3 + 5 x + y
Pange tähele, et te ei saa midagi tehaysest sellel pole sarnast terminit.
Lahutamine töötab samamoodi:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Kõigepealt pange tähele, et kõik parempoolses sulgudes olevad mõisted lahutatakse vasakpoolse sulgude terminitest, nii et kirjutage see järgmiselt:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Kombineerige sarnaseid termineid ja hinnake, et saada:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Sellise probleemi korral:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Pange tähele, et miinusmärk rakendatakse kogu avaldises paremas sulgudes, seega kaks negatiivset märki enne 3x2 saada lisamärgiks:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Seejärel arvutage nagu varem.
Polünoomväljendite korrutamine
Korrutage polünoomväljendid, kasutades korrutamise jaotavat omadust. Lühidalt öeldes korrutage esimese polünoomi iga termin teise terminiga. Vaadake seda lihtsat näidet:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Selle lahendate levitava omaduse abil, nii et:
\ algus {joondatud} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ lõpp {joondatud}
Keerulisemate probleemidega tegelemine samamoodi:
\ begin {joondatud} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {joondatud}
Need probleemid võivad suuremate rühmade jaoks keeruliseks muutuda, kuid põhiprotsess on endiselt sama.
Polünoomväljendite jagamine
Polünoomide avaldiste jagamine võtab kauem aega, kuid saate seda lahendada sammude kaupa. Vaadake väljendit:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Kõigepealt kirjutage avaldis nagu pikk jaotus, jagaja vasakul ja dividend paremal:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Jagage dividendi esimene termin jagaja esimese mõistega ja pange tulemus jaotuse kohal olevale reale. Sel juhul,x2 ÷ x = x, nii et:
\ begin {joondatud} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ end {joondatud}
Korrutage see tulemus jagajaga, nii et sel juhul (x + 2) × x = x2 + 2 x. Pange see tulemus jaotuse alla:
\ begin {joondatud} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {joondatud}
Lahutage uue rea tulemus otse selle kohal olevatest terminitest (pange tähele, et tehniliselt muudate märki, nii et kui teil oleks negatiivne tulemus, lisage see selle asemel) ja asetage see selle alla olevale reale. Viige ka viimane tähtaeg algselt dividendilt alla.
\ begin {joondatud} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {joondatud}
Nüüd korrake protsessi jaguri ja uue polünoomiga alumisel real. Nii et jagage jagaja esimene termin (x) dividendi esimeseks tähtajaks (−5x) ja pane see ülal:
\ begin {joondatud} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ end {joondatud}
Korrutage see tulemus (−5x ÷ x= −5) algse jagaja järgi (nii (x + 2) × −5 = −5 x−10) ja pane tulemus uuele alumisele reale:
\ begin {joondatud} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ lõpp {joondatud}
Seejärel lahutage alumine rida järgmisest ülespoole (nii et sel juhul muutke märki ja lisage) ja pange tulemus uuele alumisele reale:
\ begin {joondatud} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {joondatud}
Kuna põhjas on nüüd nullide rida, on protsess lõppenud. Kui oleks jäänud nulli mittekuuluvaid termineid, korraksite protsessi uuesti. Tulemus on ülemisel real, nii et:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Seda jaotust ja mõningaid teisi on võimalik lihtsamini lahendada tegur polünoom dividendis.
