Kolm võrrandisüsteemi lahendamiseks kõige sagedamini kasutatavat meetodit on asendus, elimineerimine ja liitmaatriksid. Asendamine ja elimineerimine on lihtsad meetodid, mis suudavad enamiku kahe võrrandi süsteemidest mõne lihtsa sammuga tõhusalt lahendada. Liitmaatriksite meetod nõuab küll rohkem samme, kuid selle rakendamine laieneb suuremale hulgale süsteemidele.
Asendamine
Asendamine on meetod võrrandisüsteemide lahendamiseks, eemaldades kõik võrrandid, välja arvatud üks, ja seejärel selle võrrandi. Selle saavutamiseks eraldatakse võrrandis teine muutuja ja asendatakse seejärel nende muutujate väärtused teises võrrandis. Näiteks võrrandisüsteemi x + y = 4, 2x - 3y = 3 lahendamiseks eraldage muutuja x esimesest võrrand x = 4 - y saamiseks, siis asendage see y väärtus teise võrrandiga, et saada 2 (4 - y) - 3y = 3. See võrrand lihtsustub väärtusele -5y = -5 või y = 1. Ühendage see väärtus teise võrrandisse, et leida väärtus x: x + 1 = 4 või x = 3.
Kõrvaldamine
Elimineerimine on veel üks viis võrrandisüsteemide lahendamiseks, kirjutades ühe võrrandi ümber ainult ühe muutujana. Eliminatsioonimeetod saavutab selle, lisades või lahutades üksteisest võrrandeid, et üks muutuja tühistada. Näiteks võrrandite x + 2y = 3 ja 2x - 2y = 3 liitmisel saadakse uus võrrand 3x = 6 (pange tähele, et y-terminid tühistati). Seejärel lahendatakse süsteem samade meetoditega, mis asendamisel. Kui võrrandites olevaid muutujaid on võimatu tühistada, tuleb koefitsientide vastavusse viimiseks korrutada kogu võrrand teguriga.
Liitmaatriks
Liitvõrgustikke saab kasutada ka liitmaatriksite abil. Täiendatud maatriks koosneb iga võrrandi ridadest, iga muutuja veergudest ja liitveerust, mis sisaldab võrrandi teisel küljel konstantset terminit. Näiteks võrrandisüsteemi 2x + y = 4, 2x - y = 0 liitmaatriks on [[2 1], [2-1]... [4, 0]].
Lahenduse määramine
Järgmine samm hõlmab rea elementaarsete toimingute kasutamist, näiteks rea korrutamine või jagamine muu konstandiga kui null ning ridade liitmine või lahutamine. Nende toimingute eesmärk on maatriksi teisendamine rea ešeloni vormiks, kus iga rea esimene nulliväline kirje on 1, kirjed selle kirje kohal ja all on kõik nullid ja iga rea esimene nulliväline kirje on alati kõigist sellistest ridade kirjetest paremal selle kohal. Rida-ešeloni vorm ülaltoodud maatriksi jaoks on [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Esimese muutuja väärtuse annab esimene rida (1x + 0y = 1 või x = 1). Teise muutuja väärtuse annab teine rida (0x + 1y = 2 või y = 2).
Rakendused
Asendamine ja elimineerimine on võrrandite lahendamise lihtsamad meetodid ja neid kasutatakse algebras algebras palju sagedamini kui liitmaatriksit. Asendusmeetod on eriti kasulik, kui üks muutujatest on ühes võrrandis juba eraldatud. Elimineerimismeetod on kasulik, kui ühe muutuja koefitsient on kõigis võrrandites sama (või selle negatiivne ekvivalent). Liitmaatriksite peamine eelis on see, et seda saab kasutada kolme või enama võrrandi süsteemide lahendamiseks olukordades, kus asendamine ja kõrvaldamine on kas teostamatu või võimatu.