Mis on tegelikud numbrid?

Reaalarvud on kõik numbrirea numbrid, mis ulatuvad negatiivsest lõpmatusest nullini positiivse lõpmatuseni. Reaalarvude hulga selline ülesehitus ei ole meelevaldne, vaid pigem loendamiseks kasutatud looduslike arvude evolutsiooni tulemus. Naturaalsete arvude süsteemil on mitmeid vastuolusid ja kui arvutused muutusid keerukamaks, laienes arvusüsteem oma piirangute lahendamiseks. Reaalarvude korral annavad arvutused järjepidevad tulemused ja on vähe erandeid või piiranguid, nagu olid olemas arvusüsteemi primitiivsemate versioonide puhul.

TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)

Reaalarvude komplekt koosneb kõikidest numbrirea numbritest. Siia kuuluvad loomulikud arvud, täisarvud, täisarvud, ratsionaalsed arvud ja irratsionaalsed arvud. See ei sisalda väljamõeldud numbreid ega kompleksarvusid.

Sulgemine on numbrite hulga omadus, mis tähendab, et kui lubatud arvutused tehakse hulga liikmetele, on vastused ka hulga liikmed. Komplekt olevat suletud.

Naturaalsed arvud on loendusnumbrid 1, 2, 3... ja looduslike arvude hulk pole suletud. Kuna kaubanduses kasutati loomulikke numbreid, tekkis kohe kaks probleemi. Kui looduslikud arvud loendasid reaalseid esemeid, näiteks lehmi, kui talupidajal oli viis lehma ja ta müüs viis lehma, ei olnud tulemuseks loomulikku arvu. Varased arvusüsteemid töötasid selle probleemi lahendamiseks väga kiiresti välja nulli. Tulemuseks oli täisarvude süsteem, mis on looduslikud arvud pluss null.

Teine probleem oli seotud ka lahutamisega. Kuni arvud loendasid tõelisi esemeid, näiteks lehmi, ei saanud farmer enam lehmi müüa kui tal oli. Kuid kui numbrid muutusid abstraktseks, andis suuremate arvude lahutamine väiksematest vastuseid väljaspool täisarvude süsteemi. Selle tulemusena võeti kasutusele täisarvud, mis on täisarvud pluss negatiivsed looduslikud arvud. Numbrisüsteem sisaldas nüüd täielikku numbririda, kuid ainult täisarvudega.

Suletud arvusüsteemi arvutused peaksid andma vastused arvusüsteemi arvule sellised toimingud nagu liitmine ja korrutamine, aga ka nende pöördoperatsioonid, lahutamine ja jaotus. Täisarvude süsteem on liitmiseks, lahutamiseks ja korrutamiseks suletud, kuid mitte jagamiseks. Kui täisarv jagatakse teise täisarvuga, pole tulemus alati täisarv.

Väikese täisarvu jagamine suurema arvuga annab murdosa. Sellised murrud lisati arvusüsteemi ratsionaalsete numbritena. Ratsionaalarvud on defineeritud kui suvalised arvud, mida saab väljendada kahe täisarvu suhtena. Mis tahes suvalist kümnendarvu saab väljendada ratsionaalse arvuna. Näiteks 2,864 on 2864/1000 ja 0,89632 on 89632/100 000. Numbririda näis nüüd olevat täielik.

Numbrireal on numbreid, mida ei saa väljendada täisarvude murdosana. Üks on täisnurga kolmnurga külgede ja hüpotenuusi suhe. Kui täisnurga kolmnurga kaks külge on 1 ja 1, on hüpotenuus ruutujuur 2. Kahe ruutjuur on lõpmatu kümnendkoht, mis ei kordu. Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks ja need sisaldavad kõiki reaalarvusid, mis pole ratsionaalsed. Selle määratluse korral on kõigi reaalarvude arvurida täielik, sest igasugune muu reaalarv, mis pole ratsionaalne, on irratsionaalsete definitsioonis.

Ehkki öeldakse, et reaalarvude rida ulatub negatiivsest positiivsesse lõpmatusse, pole lõpmatus ise a tegelik arv, vaid pigem arvusüsteemi mõiste, mis määratleb selle kui suuremast kogusest kui mis tahes number. Matemaatiliselt on lõpmatus vastus 1 / x-le, kui x jõuab nulli, kuid nulliga jagamist pole määratletud. Kui lõpmatus oleks arv, tooks see kaasa vastuolusid, sest lõpmatus ei järgi aritmeetikaseadusi. Näiteks lõpmatus pluss 1 on ikka lõpmatus.

Reaalarvude hulk on liitmiseks, lahutamiseks, korrutamiseks ja jagamiseks suletud, välja arvatud nulliga jagamine, mis pole määratletud. Komplekt pole vähemalt ühe muu toimingu jaoks suletud.

Reaalarvude hulga korrutusreeglid täpsustavad, et negatiivi ja a korrutamine positiivne arv annab negatiivse arvu, positiivsete või negatiivsete arvude korrutamine aga positiivse vastused. See tähendab, et numbri korrutamise erijuht ise annab positiivse arvu nii positiivsete kui ka negatiivsete arvude jaoks. Selle erijuhtumi pöördvõimalus on positiivse arvu ruutjuur, mis annab nii positiivse kui ka negatiivse vastuse. Negatiivse arvu ruutjuure korral pole reaalarvude kogumis vastust.

Kujutatavate arvude hulga kontseptsioon käsitleb reaalarvude negatiivsete ruutjuurte küsimust. Ruudujuur miinus 1 on määratletud kui i ja kõik kujuteldavad arvud on i korrutised. Numbriteooria lõpuleviimiseks on kompleksarvude komplekt määratletud nii, et see sisaldab kõiki reaalseid ja kõiki kujuteldavaid arve. Reaalarvude visualiseerimist saab jätkata horisontaalsel numbrireal, samal ajal kui kujuteldavad arvud on vertikaalsed numbriread, kusjuures need kaks lõikuvad nullil. Kompleksarvud on punktid kahe arvjoone tasapinnal, millel mõlemal on reaalne ja kujuteldav komponent.