Reaalarvude komplekt koosneb kõikidest numbrirea numbritest. Alamhulgad võivad sisaldada mis tahes numbrite kogu, kuid olulise alamhulga elementidel peaks olema vähemalt mitu ühist omadust. Enamik neist alamhulkadest on kasulikud ainult konkreetsete arvutuste jaoks, kuid on mõned üksikud, millel on huvitavad omadused ja mis aitavad mõista tegeliku arvusüsteemi toimimist.
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Reaalarvude hulga kõige olulisemad alamhulgad hõlmavad ratsionaal- ja irratsionaalarvusid. Ratsionaalsete arvude hulga saab jagada järgmisteks alamhulkadeks, sealhulgas looduslikud arvud, täisarvud ja täisarvud. Muud reaalarvude alamhulgad on paaris- ja paaritu arv, algarvud ja täiuslikud arvud. Kokku on lõpmatul hulgal reaalarvude alamhulki.
Reaalarvude alamhulgad üldiselt
Iga komplekti puhul, mis sisaldab kogust n elementi, on alamhulkade arv 2n. Reaalarvude hulgal on lõpmatu arv elemente ja seetõttu on ka vastav eksponent 2 lõpmatu, andes lõpmatu arvu alamhulki.
Paljusid neist alamhulkadest saab kasutada reaalarvusüsteemiga töötamisel ja arvutuste ajal, kuid need on kasulikud ainult konkreetsetel eesmärkidel. Näiteks võib sõpradele mitme pitsade hinna arvutamiseks huvi pakkuda ainult numbrite alahulk kümnest sajani. Välistermomeeter võib näidata ainult temperatuuride alamhulka vahemikus miinus 40 kuni pluss 120 kraadi Fahrenheiti. Selliste alamhulkadega töötamine on kasulik, sest mis tahes tulemused väljaspool eeldatavat alamhulka on tõenäoliselt valed.
Reaalarvude üldisemad alamhulgad liigitavad numbreid nende omaduste järgi ja nendel alamhulkadel on seetõttu ainulaadsed omadused. Reaalarvude süsteem arenes välja loendamiseks kasutatavatest alamhulkadest nagu loomulikud arvud ja sellised alamhulgad on aluseks algebra mõistmiseks.
Reaalarvude moodustavad alamhulgad
Reaalarvude hulk koosneb ratsionaalsetest ja irratsionaalsetest arvudest. Ratsionaalarvud on täisarvud ja arvud, mida saab väljendada murdosana. Kõik muud reaalarvud on irratsionaalsed ja sisaldavad selliseid numbreid nagu ruutjuur 2 ja arv pi. Kuna irratsionaalsed arvud on määratletud reaalarvude alamhulgana, peavad kõik irratsionaalsed arvud olema reaalarvud.
Ratsionaalarvud saab jagada täiendavateks alamhulkadeks. Looduslikud arvud on arvud, mida ajalooliselt kasutati loendamisel, ja need on järjestused 1, 2, 3 jne. Terved arvud on looduslikud arvud pluss null. Täisarvud on täisarvud pluss negatiivsed looduslikud arvud.
Muud ratsionaalarvude alamhulgad sisaldavad selliseid mõisteid nagu paaris, paaritu, alg- ja täiusarv. Paarisarvud on täisarvud, mille teguriks on 2; paaritu arv on kõik muud täisarvud. Algarvud on täisarvud, mille teguriteks on ainult nad ise ja 1. Täiuslikud arvud on täisarvud, mille tegurid liidavad arvu. Väikseim täiuslik arv on 6 ja selle tegurid 1, 2 ja 3 annavad kokku 6.
Üldiselt annavad reaalarvudega tehtud arvutused reaalarvude vastused, kuid on ka erand. Ei ole reaalset arvu, mis iseenesest korrutatuna annaks vastuseks negatiivse reaalarvu. Seetõttu ei saa negatiivse reaalarvu ruutjuur olla reaalarv. Negatiivsete reaalarvude ruutjuure nimetatakse kujuteldavateks numbriteks ja need on reaalarvudest täiesti eraldatud arvude komplekti elemendid.
Reaalarvude alamhulkade uurimine on osa arvuteooriast ja see klassifitseerib arvud, et arvuteooria toimimist oleks hõlpsam mõista. Reaalarvude alamhulkade ja nende omadustega tutvumine on hea alus edasisteks matemaatilisteks uuringuteks.