Algebra hõlmab sageli väljendite lihtsustamist, kuid mõned väljendid on segasemad kui teised. Kompleksarvud hõlmavad suurust, mida nimetataksei, omadusega “kujuteldav” numberi= √−1. Kui peate lihtsalt kompleksarvu sisaldava väljendi, võib see tunduda hirmutav, kuid see on üsna lihtne protsess, kui olete põhireeglid ära õppinud.
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Lihtsustage kompleksarvusid, järgides kompleksarvudega algebra reegleid.
Mis on kompleksarv?
Kompleksarvud määratletakse nende lisamise teelitermin, mis on ruutjuur miinus üks. Põhitaseme matemaatikas negatiivsete arvude ruutjuuri tegelikult ei eksisteeri, kuid aeg-ajalt ilmnevad need algebraülesannetes. Kompleksarvu üldvorm näitab nende struktuuri:
z = a + bi
Kuszsildistab kompleksnumbri,atähistab suvalist arvu (nn “pärisosa”) jabtähistab teist arvu (nn kujuteldavat osa), mis mõlemad võivad olla positiivsed või negatiivsed. Nii et kompleksarvu näide on:
z = 2-4i
Kuna kõiki negatiivsete arvude ruudujuuri saab esitada korrutistenai, see on kõigi kompleksarvude vorm. Tehniliselt kirjeldab tavanumber lihtsalt kompleksarvu erijuhtu kus
Kompleksarvudega algebra põhireeglid
Kompleksarvude liitmiseks ja lahutamiseks liidetakse või lahutatakse lihtsalt tegelik ja kujuteldav osa eraldi. Nii et kompleksarvude puhulz = 2 – 4ijaw = 3 + 5i, summa on:
\ alusta {joondatud} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {joondatud}
Numbrite lahutamine töötab samamoodi:
\ algus {joondatud} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ lõpp {joondatud }
Korrutamine on veel üks kompleksarvudega lihtne toiming, sest see töötab nagu tavaline korrutamine, välja arvatud see, et peate seda meeles pidamai2 = −1. Nii et arvutada 3i × −4i:
3i × -4i = -12i ^ 2
Aga sellest ajasti2= −1, siis:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Täiskompleksarvudega (kasutadesz = 2 – 4ijaw = 3 + 5iuuesti), korrutate need samamoodi nagu tavaliste numbritega nagu (a + b) (c + d), kasutades meetodit “esimene, sisemine, välimine, viimane” (FOIL), et anda (a + b) (c + d) = ac + bc + reklaam + bd. Kõik, mida peate meeles pidama, on kõigi selle esinemise lihtsustaminei2. Nii näiteks:
\ alusta {joondatud} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {joondatud}
Kompleksarvude jagamine
Kompleksarvude jagamine hõlmab murdosa lugeja ja nimetaja korrutamist nimetaja komplekskonjugaadiga. Kompleksne konjugaat tähendab lihtsalt kompleksarvu versiooni kujuteldava osaga, mis on märgiga ümber pööratud. Nii etz = 2 – 4i, kompleksne konjugaatz = 2 + 4ijaw = 3 + 5i, w = 3 −5i. Probleemi jaoks:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Vajalik konjugaat onw*. Jagage lugeja ja nimetaja sellega, et anda:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Ja siis töötate läbi nagu eelmises osas. Lugeja annab:
\ algus {joondatud} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ lõpp {joondatud}
Ja nimetaja annab:
\ algus {joondatud} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ lõpp {joondatud}
See tähendab:
\ begin {joondatud} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {joondatud}
Kompleksarvude lihtsustamine
Keeruliste avaldiste lihtsustamiseks kasutage ülaltoodud reegleid vastavalt vajadusele. Näiteks:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Seda saab lihtsustada, kasutades lugeja liitmisreeglit, nimetaja korrutusreeglit ja seejärel jagamist. Lugeja jaoks:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Nimetaja jaoks:
\ algus {joondatud} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ lõpp {joondatud}
Nende paika panemine annab:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Mõlema osa korrutamine nimetaja konjugaadiga viib:
\ begin {joondatud} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {joondatud}
Nii et see tähendabzlihtsustab järgmiselt:
\ begin {joondatud} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {joondatud}