Algebra hõlmab sageli väljendite lihtsustamist, kuid mõned väljendid on segasemad kui teised. Kompleksarvud hõlmavad suurust, mida nimetataksei, omadusega “kujuteldav” numberi= √−1. Kui peate lihtsalt kompleksarvu sisaldava väljendi, võib see tunduda hirmutav, kuid see on üsna lihtne protsess, kui olete põhireeglid ära õppinud.
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Lihtsustage kompleksarvusid, järgides kompleksarvudega algebra reegleid.
Mis on kompleksarv?
Kompleksarvud määratletakse nende lisamise teelitermin, mis on ruutjuur miinus üks. Põhitaseme matemaatikas negatiivsete arvude ruutjuuri tegelikult ei eksisteeri, kuid aeg-ajalt ilmnevad need algebraülesannetes. Kompleksarvu üldvorm näitab nende struktuuri:
z = a + bi
Kuszsildistab kompleksnumbri,atähistab suvalist arvu (nn “pärisosa”) jabtähistab teist arvu (nn kujuteldavat osa), mis mõlemad võivad olla positiivsed või negatiivsed. Nii et kompleksarvu näide on:
z = 2-4i
Kuna kõiki negatiivsete arvude ruudujuuri saab esitada korrutistenai, see on kõigi kompleksarvude vorm. Tehniliselt kirjeldab tavanumber lihtsalt kompleksarvu erijuhtu kus
b= 0, nii et kõiki numbreid võiks pidada keerukateks.Kompleksarvudega algebra põhireeglid
Kompleksarvude liitmiseks ja lahutamiseks liidetakse või lahutatakse lihtsalt tegelik ja kujuteldav osa eraldi. Nii et kompleksarvude puhulz = 2 – 4ijaw = 3 + 5i, summa on:
\ alusta {joondatud} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {joondatud}
Numbrite lahutamine töötab samamoodi:
\ algus {joondatud} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ lõpp {joondatud }
Korrutamine on veel üks kompleksarvudega lihtne toiming, sest see töötab nagu tavaline korrutamine, välja arvatud see, et peate seda meeles pidamai2 = −1. Nii et arvutada 3i × −4i:
3i × -4i = -12i ^ 2
Aga sellest ajasti2= −1, siis:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Täiskompleksarvudega (kasutadesz = 2 – 4ijaw = 3 + 5iuuesti), korrutate need samamoodi nagu tavaliste numbritega nagu (a + b) (c + d), kasutades meetodit “esimene, sisemine, välimine, viimane” (FOIL), et anda (a + b) (c + d) = ac + bc + reklaam + bd. Kõik, mida peate meeles pidama, on kõigi selle esinemise lihtsustaminei2. Nii näiteks:
\ alusta {joondatud} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {joondatud}
Kompleksarvude jagamine
Kompleksarvude jagamine hõlmab murdosa lugeja ja nimetaja korrutamist nimetaja komplekskonjugaadiga. Kompleksne konjugaat tähendab lihtsalt kompleksarvu versiooni kujuteldava osaga, mis on märgiga ümber pööratud. Nii etz = 2 – 4i, kompleksne konjugaatz = 2 + 4ijaw = 3 + 5i, w = 3 −5i. Probleemi jaoks:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Vajalik konjugaat onw*. Jagage lugeja ja nimetaja sellega, et anda:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Ja siis töötate läbi nagu eelmises osas. Lugeja annab:
\ algus {joondatud} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ lõpp {joondatud}
Ja nimetaja annab:
\ algus {joondatud} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ lõpp {joondatud}
See tähendab:
\ begin {joondatud} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {joondatud}
Kompleksarvude lihtsustamine
Keeruliste avaldiste lihtsustamiseks kasutage ülaltoodud reegleid vastavalt vajadusele. Näiteks:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Seda saab lihtsustada, kasutades lugeja liitmisreeglit, nimetaja korrutusreeglit ja seejärel jagamist. Lugeja jaoks:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Nimetaja jaoks:
\ algus {joondatud} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ lõpp {joondatud}
Nende paika panemine annab:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Mõlema osa korrutamine nimetaja konjugaadiga viib:
\ begin {joondatud} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {joondatud}
Nii et see tähendabzlihtsustab järgmiselt:
\ begin {joondatud} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {joondatud}