Iga kõrgema taseme algebraõpilane peab õppima ruutvõrrandeid lahendama. Need on polünoomvõrrandi tüübid, mis sisaldavad võimsust 2, kuid ükski neist pole kõrgem, ja neil on üldine kuju:kirves2 + bx + c= 0. Nende saate lahendada ruutvõrrandi valemi abil, faktoriseerides või ruutu täites.
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Kõigepealt otsige võrrandi lahendamiseks faktoriseerimine. Kui pole ühtegi, kuidbkoefitsient jagub 2-ga, täida ruut. Kui kumbki lähenemine pole lihtne, kasutage ruutvõrrandi valemit.
Faktuurimise kasutamine võrrandi lahendamiseks
Faktoriseerimine kasutab ära asjaolu, et standardse ruutvõrrandi parem külg võrdub nulliga. See tähendab, et kui saate võrrandi jagada kaheks terminiks sulgudes, mis on korrutatud üksteisega, saate lahendused välja töötada, mõeldes sellele, mis muudaks iga sulg võrdseks nulliga. Konkreetse näite toomiseks:
x ^ 2 + 6x + 9 = 0
Võrrelge seda standardvormiga:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Selles näitesa = 1, b= 6 jac= 9. Faktoriseerimise väljakutseks on kahe numbri leidmine, mis liidetakse, et anda numberbkoht ja korrutage koos, et saada number kohalec.
Niisiis, esindades numbreiddjae, otsite numbreid, mis vastavad:
d + e = b
Või sel juhul koosb = 6:
d + e = 6
Ja
d × e = c
Või sel juhul koosc = 9:
d × e = 9
Keskenduge arvude leidmisele, mis on teguridcja seejärel lisage need kokku, et näha, kas need on võrdsedb. Kui teil on oma numbrid olemas, pange need järgmisesse vormingusse:
(x + d) (x + e)
Ülaltoodud näites mõlemaddjaeon 3:
x ^ 2 + 6x + 9 = (x + 3) (x + 3) = 0
Kui sulgud välja korrutate, jõuate uuesti algse avaldise juurde ja see on teie faktoriseerimise kontrollimiseks hea tava. Selle protsessi saate läbida (korrutades sulgude esimese, sisemise, välimise ja seejärel viimase osa järjest - vt lähemalt ressurssidest), et näha seda tagurpidi:
\ alusta {joondatud} (x + 3) (x + 3) & = (x × x) + (3 × x) + (x × 3) + (3 × 3) \\ & = x ^ 2 + 3x + 3x + 9 \\ & = x ^ 2 + 6x + 9 \\ \ end {joondatud}
Faktoriseerimine läbib selle protsessi tegelikult vastupidises suunas, kuid selle väljatöötamine võib olla keeruline õige viis ruutvõrrandi arvutamiseks ja see meetod pole selle jaoks ideaalne kõigi ruutvõrrandite jaoks põhjust. Tihti tuleb arvata faktoriseerimine ja siis see üle kontrollida.
Probleem on nüüd selles, et ükskõik milline sulgudes olev avaldis tuleb teie väärtuseväärtuse valimisel võrdseks nulligax. Kui kumbki sulg on võrdne nulliga, võrdub kogu võrrand nulliga ja olete leidnud lahenduse. Vaadake viimast etappi [(x + 3) (x+ 3) = 0] ja näete, et sulud saavad nulli ainult siis, kuix= −3. Enamasti on ruutvõrranditel kaks lahendit.
Faktoorimine on veelgi keerulisem, kuiaei ole võrdne ühega, kuid esmalt on parem keskenduda lihtsatele juhtumitele.
Ruudu lõpuleviimine võrrandi lahendamiseks
Ruudu lõpuleviimine aitab teil lahendada ruutvõrrandeid, mida ei saa lihtsalt lahutada. See meetod võib töötada mis tahes ruutvõrrandi korral, kuid mõned võrrandid sobivad sellele rohkem kui teised. Lähenemisviis hõlmab avaldise täiuslikuks ruuduks muutmise ja selle lahendamise. Üldine täiuslik ruut laieneb nii:
(x + d) ^ 2 = x ^ 2 + 2dx + d ^ 2
Ruutvõrrandi lahendamiseks ruudu täitmisega hankige avaldis ülaltoodud paremal pool olevasse vormi. Esmalt jagage numberbpositsioon 2 võrra ja seejärel ruut ruut. Nii võrrandi jaoks:
x ^ 2 + 8x = 0
Koefitsientb= 8, seegab÷ 2 = 4 ja (b ÷ 2)2 = 16.
Lisage see mõlemale poolele, et saada:
x ^ 2 + 8x + 16 = 16
Pange tähele, et see vorm sobib täiusliku ruudukujulise vormiga koosd= 4, seega 2d= 8 jad2 = 16. See tähendab, et:
x ^ 2 + 8x + 16 = (x + 4) ^ 2
Sisestage see eelmisesse võrrandisse, et saada:
(x + 4) ^ 2 = 16
Nüüd lahendage võrrandx. Võtke mõlema külje ruutjuur, et saada:
x + 4 = \ sqrt {16}
Mõlemast küljest lahutage 4, et saada:
x = \ sqrt {16} - 4
Juur võib olla positiivne või negatiivne ning negatiivse juuri võtmine annab:
x = -4-4 = -8
Leidke teine positiivse juurega lahendus:
x = 4 - 4 = 0
Seetõttu on ainus nulliväline lahendus −8. Kinnitamiseks kontrollige seda algse avaldisega.
Ruutvalemi kasutamine võrrandi lahendamiseks
Ruutvõrrandivalem näib keerukam kui muud meetodid, kuid see on kõige usaldusväärsem meetod ja saate seda kasutada mis tahes ruutvõrrandis. Võrrand kasutab tavapärase ruutvõrrandi sümboleid:
ax ^ 2 + bx + c = 0
Ja nendib, et:
x = \ frac {-b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Sisestage sobivad numbrid nende kohtadesse ja töötage lahendamiseks läbi valem, pidage meeles, et proovige nii lahutada kui lisada ruutjuure termin ja märkida mõlemad vastused. Järgmine näide:
x ^ 2 + 6x + 5 = 0
Teil ona = 1, b= 6 jac= 5. Nii et valem annab:
\ begin {joondatud} x & = \ frac {-6 ± \ sqrt {6 ^ 2 - 4 × 1 × 5}} {2 × 1} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {36 - 20} } {2} \\ & = \ frac {-6 ± \ sqrt {16}} {2} \\ & = \ frac {-6 ± 4} {2} \ end {joondatud}
Positiivse märgi võtmine annab:
\ begin {joondatud} x & = \ frac {-6 + 4} {2} \\ & = \ frac {-2} {2} \\ & = -1 \ end {joondatud}
Negatiivse märgi võtmine annab:
\ begin {joondatud} x & = \ frac {-6 - 4} {2} \\ & = \ frac {-10} {2} \\ & = -5 \ end {joondatud}
Millised on võrrandi kaks lahendit.
Kuidas teha kindlaks ruutvõrrandite lahendamise parim meetod
Enne millegi muu proovimist otsige faktoriseerimist. Kui suudate ühe leida, on see ruutvõrrandi kiireim ja lihtsaim viis. Pidage meeles, et otsite kahte numbrit, mille summa onbkoefitsient ja korrutadackoefitsient. Selle võrrandi jaoks:
x ^ 2 + 5x + 6 = 0
Võite märgata, et 2 + 3 = 5 ja 2 × 3 = 6, nii et:
x ^ 2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0
Jax= −2 võix = −3.
Kui te ei näe jaotust, kontrollige, kasbkoefitsient jagub 2-ga, murdosa kasutamata. Kui see on nii, on ruudu täitmine tõenäoliselt lihtsaim viis võrrandi lahendamiseks.
Kui kumbki lähenemine ei tundu sobiv, kasutage valemit. See näib olevat kõige raskem lähenemine, kuid kui olete eksamil või muul viisil ajale surutud, võib see muuta protsessi palju vähem stressirohkeks ja palju kiiremaks.