Kahe skalaarkoguse korrutis on skalaar ja vektoriga skalaari korrutis on vektor, aga kuidas on lood kahe vektori korrutisega? Kas see on skalaar või mõni muu vektor? Vastus on, et see võib olla kumbki!
Vektorprodukti võtmiseks on kaks võimalust. Üks on nende punktprodukt, mis annab skalaari, ja teine ristprodukt, mis annab teise vektori. Millist toodet kasutatakse, sõltub konkreetsest stsenaariumist ja sellest, millist kogust proovite leida.
Kahe vektori ristprodukt annab kolmanda vektori, mis osutab vektoriga risti kahe vektoriga kaetud tasapind ja mille suurus sõltub nende kahe suhtelisest perpendikulaarsusest vektorid.
Vektorite ristprodukti määratlus
Kõigepealt määratleme ühikvektorite ristprodukti, jjak(vektorid suurusjärgus 1, mis on punktx-, y-jaz-dekartesiuse koordinaatsüsteemi komponendisuunad) järgmiselt:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ korda i} = \ bold {j \ korda j} = \ bold {k \ korda k} = 0
Pange tähele, et need suhted on kommutatiivsed, see tähendab, et kui me vahetame vektorite järjekorda, mille võtame toote, siis pöörab see toote märgi:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Kahe kolmemõõtmelise vektori ristprodukti valemi tuletamiseks võime kasutada ülaltoodud määratlusi. Esiteks kirjutage vektoridajabjärgnevalt:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Korrutades kaks vektorit, saame:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ paks {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ korda i} + a_xb_y \ bold {i \ korda j} + a_xb_z \ bold {i \ korda k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ korda i} + a_zb_y \ bold {k \ korda j} + a_zb_z \ bold {k \ korda k}
Seejärel lihtsustab see ülaltoodud ühikvektori suhteid järgmiselt:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ korda i} - a_zb_y \ bold {j \ korda k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ korda j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ korda k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Pange tähele, et terminid, mille ristprodukt oli 0, moodustavad punkttoote (nimetatakse ka skalaarkorrutiseks)!See pole juhus.)
Teisisõnu:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {kus} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Ristprodukti suuruse saab teada Pythagorase teoreemi abil.
Ristprodukti valemit saab väljendada ka järgmise maatriksi determinantina:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {maatriks} \ Bigg | \\ = \ Suur | \ algab {maatriks} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {maatriks} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {maatriks} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {maatriks} \ Big | \ bold {k}
\ text {Kust determinant} \ Suur | \ algab {maatriks} a & b \\ c & d \ lõpp {maatriks} \ Suur | = ad - bc
Ristprodukti teine, sageli väga mugav koostis on (tuletise saamiseks vaadake selle artikli lõppu):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n}
Kus:
- |a| on vektori suurus (pikkus)a
- |b| on vektori suurus (pikkus)b
- θ on nurk aja b
- non ühikvektor, mis on risti sirgjoonega ajab
Ristvektorid ja parempoolne reegel
Ristprodukti kirjelduses on öeldud, et ristprodukti suund on risti vektori poolt sirguva tasapinnagaaja vektorb. Kuid see jätab kaks võimalust: see võib viidataotsaslennuk võisissenende vektorite haaratud lennuk. Reaalsus on see, et me võime tegelikult valida kas seni, kuni oleme järjekindlad. Matemaatikute ja teadlaste valitud eelistatud suuna määrab siiski miski, mida nimetatakseparema käe reegel.
Parema käe reegli abil vektori risttoote suuna määramiseks suunake parema käe nimetissõrm vektori suunasaja keskmine sõrm vektori suunasb. Seejärel näitab pöial ristprodukti vektori suunda.
Mõnikord on neid juhiseid tasasel paberil keeruline kujutada, nii et sageli tehakse järgmised kokkulepped:
Lehele mineva vektori tähistamiseks joonistame ringi, milles on X (arvake, et see tähistab noole lõpus olevaid sabasulgi, kui vaatate seda tagantpoolt). Vektori tähistamiseks, mis läheb lehest välja vastupidises suunas, joonistame ringi, milles on punkt (mõelge sellele kui lehelt välja osutava noole otsale).
•••na
Risttoote omadused
Järgmised on vektori ristprodukti mitmed omadused:
\ # \ tekst {1. Kui} \ bold {a} \ text {ja} \ bold {b} \ text {on paralleelsed, siis} \ bold {a \ times b} = 0
\ # \ tekst {2. } \ bold {a \ times b} = - \ bold {b \ korda a}
\ # \ tekst {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ korda c}
\ # \ tekst {4. } (c \ bold {a) \ korda b} = c (\ bold {a \ korda b})
\ # \ tekst {5. } \ bold {a \ cdot (b \ korda c}) = \ bold {(a \ korda b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {maatriks } \ Bigg |
Risttoote geomeetriline tõlgendamine
Kui vektori ristprodukt on sõnastatud patu (θ) abil, saab selle suurust tõlgendada nii, et see esindab rööpküliku pindala, mille on laiendanud kaks vektorit. Selle põhjuseks ona × b, |b| sin (θ) = rööpküliku kõrgus, nagu on näidatud, ja |a| on alus.
•••Dana Chen | Teadmine
Vektori kolmekordse toote suurusa (b × c) saab omakorda tõlgendada kui vektorite poolt läbitud rööptahuka mahtua, bjac. See on sellepärast, et(b × c) annab vektori, mille suurus on vektoriga kaetud alabja vektorcja mille suund on selle alaga risti. Vektori punkti korrutise võtmineaselle tulemusega korrutab sisuliselt aluse ja kõrguse korrutise.
Näited
Näide 1:Jõud laengu osakeseleqliikudes kiirusegavmagnetväljasBannab:
\ bold {F} = q \ bold {v \ korda B}
Oletame, et elektron läbib 0,005 T magnetvälja kiirusega 2 × 107 Prl. Kui see läbib põldu risti, siis on jõud, mida ta tunneb:
\ bold {F} = q \ bold {v \ korda B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1,602 \ korda 10 ^ {19}) (2 korda 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ bold {n} = -1,602 \ korda 10 ^ {- 14} \ text {N} \ bold {n}
Kui aga elektron liigub väljaga paralleelselt, siis θ = 0 ja sin (0) = 0, muutes jõu 0.
Pange tähele, et elektroni, mis läbib risti läbi välja, põhjustab see jõud selle liikumist ringikujuliselt. Selle ringikujulise raadiuse saab leida, seades magnetjõu võrdseks tsentripetaalse jõuga ja lahendades raadiuser:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {sent} \\ \ tähendab r = \ frac {mv} {qB}
Ülaltoodud näite puhul annab numbrite ühendamine raadiuse umbes 0,0227 m.
Näide 2:Füüsikalise suuruse pöördemoment arvutatakse ka vektori ristprodukti abil. Kui jõudFrakendatakse asendis olevale objektilerpöördepunktist pöördemomentτPöördepunkti kohta annab:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ korda F}
Mõelgem olukorrale, kus 0,75 varda otsa, mille teine ots kinnitub pöördteljele, rakendatakse nurga all 7 N jõudu. Nurk vahelrjaFon 70 kraadi, nii et pöördemomenti saab arvutada:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ korda F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4,93 \ text {Nm} \ bold { n}
Pöördemomendi suund,n, leitakse parema käe reegli kaudu. Kui see rakendatakse ülaltoodud pildile, annab see lehelt või ekraanilt väljuva suuna. Üldiselt soovib objektile rakendatud pöördemoment põhjustada objekti pöörlemise. Pöördemomendi vektor asub alati pöörlemisteljega samas suunas.
Tegelikult võib selles olukorras kasutada lihtsustatud parempoolset reeglit: kasutage oma paremat kätt pöörlemistelje sellisel viisil, et teie sõrmed kõverduksid vastava pöördemomendiga suunas, mis soovib objekti pöörlema panna. Teie pöial on siis suunatud pöördemomendi vektori suunas.
Risttoote valemi tuletamine
\ text {Siin näitame, kuidas toote ristvormel} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {saab tuletada.}
Vaatleme kahte vektoritajabnurga allθnende vahel. Täisnurkse kolmnurga saab moodustada, tõmmates joone vektori otsastaristi puutepunktiga vektorilb.
Kasutades Pythagorase teoreemi, saame järgmise seose:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {kus} \ suur (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ big) \ bold {b} \ text {on vektori projektsioon} \ bold {a} \ text {vektorile} \ bold {b}.
Veidi väljendit lihtsustades saame järgmise:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Järgmisena korrutage võrrandi mõlemad pooled | -gab|2 ja liigutage esimene termin paremale, et saada:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
Parema küljega töötades korrutage kõik välja ja lihtsustage seejärel:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z) 2 (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ bold {a \ korda b} | ^ 2
Kui määrate tulemuse võrdseks eelmise võrrandi vasakpoolsega, saame järgmise seose:
| \ bold {a \ korda b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
See näitab meile, et valemi suurused on samad, nii et valemi tõestamiseks tuleb viimane asi näidata, et ka suunad on samad. Seda saab teha lihtsalt punkttooteid kasutadesakoosa × bjabkoosa × bja näitab, et need on 0, mis tähendab, eta × b on mõlemaga risti.