Schrodingeri võrrand on kvantmehaanika kõige fundamentaalsem võrrand ja selle kasutamise õppimine ning selle tähendus on iga algava füüsiku jaoks hädavajalik. Võrrand on nime saanud Erwin Schrödingeri järgi, kes võitis 1933. aastal koos Paul Diraciga Nobeli preemia panuse eest kvantfüüsikasse.
Schrodingeri võrrand kirjeldab kvantmehaanilise süsteemi lainefunktsiooni, mis annab tõenäosusteave osakese asukoha ja muude vaadeldavate suuruste, näiteks selle kohta hoog. Kõige olulisem, mida mõistate kvantmehaanika kohta pärast võrrandi tundmaõppimist, on see, et kvantvaldkonna seadused onväga erinevadklassikalise mehaanika omadest.
Laine funktsioon
Lainefunktsioon on kvantmehaanikas üks olulisemaid mõisteid, sest iga osakest esindab lainefunktsioon. Tavaliselt antakse sellele kreeka täht psi (Ψ) ja see sõltub asukohast ja ajast. Kui teil on osakese lainefunktsiooni väljend, siis see ütleb teile kõik, mida saab teada füüsikaline süsteem ja vaadeldavate suuruste erinevad väärtused saab operaatori rakendamisel seda.
Lainefunktsiooni mooduli ruut näitab teile osakese leidmise tõenäosust asukohastxantud ajahetkelt. Seda ainult juhul, kui funktsioon on „normaliseeritud“, mis tähendab, et kõigi võimalike asukohtade ruutmooduli summa peab olema võrdne 1, st et osake onteatudasumakusagil.
Pange tähele, et lainefunktsioon annab ainult tõenäosuslikku teavet ja seega ei saa te ühe vaatluse tulemust ennustada, ehkki teiesaabmäärata paljude mõõtmiste keskmine.
Lainefunktsiooni abil saate arvutada„Ootuse väärtus“osakese ajalise asukoha jaokst, mille eeldatav väärtus on keskmine väärtusxsaavutaksite, kui kordaksite mõõtmist mitu korda.
Jällegi ei ütle see teile konkreetse mõõtmise kohta midagi. Tegelikult on lainefunktsioon pigem ühe osakese tõenäosusjaotus kui miski konkreetne ja usaldusväärne. Kasutades sobivat operaatorit, saate ka impulsside, energia ja muude vaadeldavate suuruste ooteväärtused.
Schrodingeri võrrand
Schrodingeri võrrand on lineaarne osaline diferentsiaalvõrrand, mis kirjeldab a kvantseisund sarnaselt Newtoni seadustega (eriti teine seadus) klassikalises mehaanika.
Kuid Schrodingeri võrrand on kõnealuse osakese lainefunktsiooni lainevõrrand ja seega võrrandi kasutamine tulevase seisundi ennustamiseks süsteemi süsteemi nimetatakse mõnikord "lainemehaanikaks". Võrrand tuleneb ise energia säästmisest ja on üles ehitatud operaatori nimega Hamiltonian.
Schrodingeri võrrandi lihtsaim vorm, mida üles kirjutada, on:
H Ψ = iℏ \ frac {\ osalineΨ} {\ osaline}
Kus ℏ on taandatud Plancki konstant (s.t konstants jagatud 2π-ga) jaHon Hamiltoni operaator, mis vastab kvantsüsteemi potentsiaalse energia ja kineetilise energia (koguenergia) summale. Hamiltoni keel on siiski üsna pikk avaldis, nii et kogu võrrandi saab kirjutada järgmiselt:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ osaline ^ 2 Ψ} {\ osaline x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ osaline} {\ osaline t}
Pange tähele, et mõnikord (selgesõnaliselt kolmemõõtmeliste probleemide korral) kirjutatakse esimene osaline tuletis Laplaasia operaatorina ∇2. Sisuliselt toimib Hamiltonian lainefunktsioonile, et kirjeldada selle arengut ruumis ja ajas. Kuid võrrandi ajast sõltumatus versioonis (st kui süsteem ei sõltut), annab Hamiltonianus süsteemi energia.
Schrodingeri võrrandi lahendamine tähendabkvantmehaaniline lainefunktsioonmis rahuldab seda konkreetses olukorras.
Ajast sõltuv Schrodingeri võrrand
Ajast sõltuv Schrodingeri võrrand on eelmise jaotise versioon ja see kirjeldab osakese lainefunktsiooni arengut ajas ja ruumis. Lihtne kaaluda juhtum on vaba osake, kuna potentsiaalne energiaV= 0 ja lahus on tasapinnalise laine kujul. Need lahendused on kujul:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Kusk = 2π / λ, λon lainepikkus jaω = E / ℏ.
Muude olukordade korral kirjeldab algse võrrandi potentsiaalse energia osa piirjooni lainefunktsiooni ruumiline osa ja see on sageli eraldatud ajaarengu funktsiooniks ja ajast sõltumatuks võrrand.
Ajast sõltumatu Schrodingeri võrrand
Staatiliste olukordade või lahenduste korral, mis moodustavad seisvaid laineid (näiteks potentsiaalkaevu, "osakese kasti" stiilis lahendused), saate lainefunktsiooni eraldada aja- ja ruumiosadeks.
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Kui läbite selle täielikult, saab ajaosa tühistada, jättes selle Schrodingeri võrrandi vormiainultsõltub osakese asendist. Ajast sõltumatu lainefunktsiooni annab seejärel:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
SiinEon kvantmehaanilise süsteemi energia jaHon Hamiltoni operaator. Sellel võrrandivormil on omaväärtuse võrrandi täpne kuju koos lainefunktsiooniga Hamiltoni operaatori rakendamisel on omaväärtus energia ja energia on omaväärtus selle juurde. Laiendades hamiltoni keelt selgemasse vormi, saab selle täielikult kirjutada järgmiselt:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ osaline ^ 2 Ψ} {\ osaline x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Võrrandi ajaosa sisaldub funktsioonis:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Lahendused ajast sõltumatule Schrodingeri võrrandile
Ajast sõltumatu Schrodingeri võrrand sobib hästi üsna sirgjooneliste lahenditeni, kuna see trimmib võrrandi täieliku kuju. Selle täiuslik näide on lahendite rühm "osake karbis", kus eeldatakse, et osake on ühes dimensioonis lõpmatu ruutpotentsiaaliga, seega on potentsiaal null (st.V= 0) kogu ulatuses ja pole mingit võimalust, et osakest leitakse väljaspool kaevu.
Samuti on piiratud ruudukujuline kaev, kus kaevu "seinte" juures olev potentsiaal pole lõpmatu ja isegi kui see on osakese energiast kõrgem, onmõnedvõimalus leida osake väljaspool seda kvanttunneldamise tõttu. Lõputu potentsiaali jaoks on lahendused järgmised:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
KusLon kaevu pikkus.
Deltafunktsioonipotentsiaal on potentsiaalkaevuga väga sarnane mõiste, välja arvatud laiusLnullini (st lõpmatult väike ühe punkti ümber) ja kaevu sügavus lõpmatusse, samal ajal kui nende kahe korrutis (U0) jääb konstantseks. Selles väga idealiseeritud olukorras on ainult üks seotud olek, mille annab:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Energiaga:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Vesiniku aatomi lahendus Schrodingeri võrrandile
Lõpuks on vesinikuaatomi lahusel ilmselge rakendus reaalses füüsikas, kuid praktikas olukord kuna vesiniku aatomi tuuma ümbritsevat elektroni võib vaadelda kui potentsiaalsele kaevule üsna sarnast probleeme. Kuid olukord on kolmemõõtmeline ja seda saab kõige paremini kirjeldada sfäärilistes koordinaatidesr, θ, ϕ. Sellisel juhul annab lahenduse:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
KusPon Legendre polünoomid,Ron spetsiifilised radiaalsed lahendused jaNon konstant, mille parandate, kasutades seda, et lainefunktsioon tuleks normaliseerida. Võrrand annab energiataseme, mis on antud:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
KusZsiin on aatomnumber (niiZ= 1 vesinikuaatomi korral),esel juhul on elektroni laeng (mitte konstante = 2.7182818...), ϵ0 on vaba ruumi läbilaskvus jaμon vähendatud mass, mis põhineb vesiniku aatomi prootoni ja elektroni massil. See väljend sobib hästi mis tahes vesinikusarnase aatomi jaoks, mis tähendab mis tahes olukorda (sealhulgas ioone), kus keskse tuuma ümber on üks elektron.