Mis on Gaussi levik?

Statistikas kasutatakse Gaussi ehk normaalset jaotust keerukate süsteemide iseloomustamiseks paljude teguritega. Nagu kirjeldatud Stephen Stigleri raamatus „Statistika ajalugu”, leiutas Abraham De Moivre jaotuse, mis kannab Karl Fredrick Gaussi nime. Gaussi panus seisnes jaotuse rakendamisel vähimruutudele, et minimeerida vigu andmete sobitamisel kõige paremini sobiva reaga. Seega tegi ta sellest statistikas kõige olulisema veajaotuse.

Mis on andmete valimi jaotus? Mis siis, kui te ei tea andmete aluseks olevat jaotust? Kas on mingeid võimalusi andmete hüpoteeside testimiseks, teadmata aluseks olevat jaotust? Tänu keskpiiride teoreemile on vastus jah.

Selles öeldakse, et lõpmatu populatsiooni valimi keskmine on ligikaudu normaalne ehk Gaussi keskmine sama, mis põhipopulatsioon, ja dispersioon, mis võrdub populatsiooni dispersiooniga, jagatuna valimiga suurus. Lähendus paraneb, kui valimi suurus suureneb.

Lähenemisavaldus on mõnikord vale järeldusena normaaljaotusega lähenemise kohta. Kuna ligikaudne normaaljaotus muutub valimi suuruse suurenemisega, on selline väide eksitav.

Teoreemi töötas välja Pierre Simon Laplace.

Normaaljaotused on kõikjal olemas. Põhjus pärineb keskpiiride teoreemist. Sageli on väärtuse mõõtmisel paljude sõltumatute muutujate summaarne mõju. Seetõttu on mõõdetav väärtus ise valimi keskmise kvaliteediga. Näiteks võib sportlaste soorituste jaotusel olla kellakujuline toitumis-, treening-, geneetika-, treeneri- ja psühholoogiliste erinevuste tagajärg. Isegi meeste kõrgused on normaaljaotusega, olles paljude bioloogiliste tegurite funktsioon.

Gaussi jaotusega kopulafunktsiooniks nimetatu oli 2009. aastal uudistes, kuna seda kasutati tagatud võlakirjadesse investeerimise riski hindamisel. Funktsiooni väärkasutamine oli oluline aastatel 2008–2009 toimunud finantskriisis. Kuigi kriisil oli palju põhjuseid, ei oleks Gaussi jaotusi tagantjärele pidanud tõenäoliselt kasutama. Paksema sabaga funktsioon oleks määranud ebasoodsatele sündmustele suurema tõenäosuse.

Keskpiiri teoreemi saab tõestada mitmel real, analüüsides (valimi) momendi genereerimise funktsiooni (mgf) keskmine - populatsiooni keskmine) /? (populatsiooni dispersioon / valimi suurus) sõltuvalt aluseks oleva populatsiooni mgf-st. Teoreemi ligikaudne osa on sisse viidud, laiendades aluseks oleva populatsiooni mgf kui võimsusjada, siis on enamiku terminite näitamine ebaoluline, kuna valimi suurus muutub suureks.

Seda saab tõestada palju vähemates ridades, kasutades Taylori laiendust sama funktsiooni iseloomulikule võrrandile ja muutes valimi suuruse.

Mõnes statistilises mudelis eeldatakse, et vead on Gaussi. See võimaldab hüpoteeside testimisel kasutada normaalmuutujate funktsioonide jaotusi, näiteks khi-ruut- ja F-jaotust. Täpsemalt, F-testi korral koosneb F-statistika chi-ruutjaotuste suhtest, mis ise on normaalse dispersiooniparameetri funktsioonid. Nende kahe suhe põhjustab dispersiooni tühistamise, võimaldades hüpoteeside testimist ilma nende normaalsuse ja püsivuse kõrvalekallete teadmata.