Funktsioonide integreerimine on üks arvestuse põhirakendusi. Mõnikord on see lihtne, nagu näiteks:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
Seda tüüpi suhteliselt keerulises näites saate määramata integraalide integreerimiseks kasutada põhivalemi versiooni:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
kusAjaCon konstandid.
Seega selle näite puhul
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Ruutjuure põhifunktsioonide integreerimine
Pealtnäha on ruutjuure funktsiooni integreerimine ebamugav. Näiteks võivad teid häirida:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Kuid ruutjuuri saab väljendada eksponendina, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Seetõttu saab integraal:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
millele saate ülalt tavalist valemit kasutada:
\ begin {joondatud} int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {joondatud}
Keerukamate ruutjuure funktsioonide integreerimine
Mõnikord võib teil radikaalse märgi all olla rohkem kui üks termin, nagu selles näites:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Sa võid kasutadau- asendamine jätkamiseks. Siin sa määraduvõrdub nimetaja kogusega:
u = \ sqrt {x - 3}
Lahendage seexruudutades mõlemad pooled ja lahutades:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
See võimaldab teil saada dxuvõttes tuletisex:
dx = (2u) du
Algsesse integraali tagasi asendamine annab
\ begin {joondatud} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {joondatud}
Nüüd saate selle integreerida põhivalemi ja väljendi abiluosasx:
\ begin {joondatud} int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ lõpp {joondatud}