Nii nagu algebras, koguneb trigonomeetriat õppima asudes valemite komplekt, mis on probleemide lahendamiseks kasulik. Üks selline komplekt on poolnurga identiteedid, mida saate kasutada kahel eesmärgil. Üks on teisendada trigonometrilised funktsioonid (θ/ 2) funktsioonideks tuttavama (ja hõlpsamini manipuleeritava) osasθ. Teine on leida trigonomeetriliste funktsioonide tegelik väärtusθ, millalθsaab väljendada poolena tuttavamast nurgast.
Poolnurga identiteetide ülevaatamine
Paljud matemaatikaõpikud loetlevad neli peamist nurga all olevat identiteeti. Kuid rakendades algebra ja trigonomeetria segu, saab neid võrrandeid masseerida mitmeks kasulikuks vormiks. Kõiki neid ei pea tingimata meelde jätma (kui teie õpetaja ei nõua), kuid peaksite vähemalt mõistma, kuidas neid kasutada:
Poolnurkne identiteet siinuse jaoks
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Kosinuse poolenurkne identiteet
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Tangendi poolnurksed identiteedid
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ võrevoodi
Kotangendi poolnurga identiteedid
\ võrevoodi \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ võrevoodi \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ võrevoodi \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ võrevoodi
Näide poolnurga identiteetide kasutamisest
Niisiis, kuidas kasutada poolnurga identiteete? Esimene samm on tõdeda, et teil on tegemist nurga poolest, mis on pool tuttavamat nurka.
- I kvadrant: kõik trigfunktsioonid
- II kvadrant: ainult siinus ja kosekant
- III kvadrant: ainult puutuja ja kotangent
- IV kvadrant: ainult koosinus ja sekant
kujutage ette, et teil palutakse leida nurga siinus 15 kraadi. See pole üks nurk, millest enamik õpilasi trigfunktsioonide väärtusi meelde jätab. Kuid kui lasete 15 kraadi olla võrdne θ / 2 ja lahendate seejärel for, leiate, et:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Kuna saadud θ, 30 kraadi, on tuttavam nurk, on siin poolnurga valemi kasutamine abiks.
Kuna teil on palutud siinus leida, on tegelikult valida vaid üks poolnurga valem:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Asendamineθ/ 2 = 15 kraadi jaθ= 30 kraadi annab teile:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Kui teil paluti leida puutuja või kotangent, mis mõlemad korrutavad poolenisti nende poolnurga identiteedi väljendamise viise, valiksite lihtsalt selle versiooni, mis tundus kõige lihtsam töötada.
Mõne poolnurga identiteedi alguses olev ± märk tähendab, et kõnealune juur võib olla positiivne või negatiivne. Selle ebaselguse saate lahendada, kasutades oma teadmisi trigonomeetriliste funktsioonide kohta ruutudes. Siin on kiire kokkuvõte, millised trig-funktsioonid naasevadpositiivneväärtused, milles kvadrandid:
Kuna sel juhul tähistab teie nurk 30 30 kraadi, mis langeb I kvadrandisse, teate, et selle tagastatud siinusväärtus on positiivne. Nii saate tühistada ± märgi ja lihtsalt hinnata:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Asendage tuttav, tuntud väärtus cos (30). Sel juhul kasutage täpseid väärtusi (erinevalt diagrammi kümnendkohtadest):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Järgmisena lihtsustage võrrandi paremat külge, et leida väärtus patule (15). Alustage radikaali avaldise korrutamisel 2/2-ga, mis annab teile:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
See lihtsustab järgmist:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Seejärel saate välja arvutada ruutjuure 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
Enamasti on see umbes nii palju, kui lihtsustate. Kuigi tulemus ei pruugi olla kohutavalt ilus, olete harjumatu nurga siinuse täpseks koguseks tõlkinud.