Kui näete väljendeid 32 ja 53, võite õitsenguga teatada, et need tähendavad "kolme ruutu" ja "viit kuupi" ning saaksite leida samaväärseid numbreid ilma eksponendid, numbrid, mida tähistavad ülakoodid üleval paremal ülal. Need numbrid on antud juhul 9 ja 125.
Aga mis siis, kui näiteks lihtsa eksponentsiaalse funktsiooni, näiteks y = x, asemel 3, peate selle asemel lahendama võrrandi nagu y = 3x. Siin ilmub x, sõltuv muutuja, eksponendina. Kas on võimalik seda muutujat ahvenalt alla tõmmata, et sellega matemaatiliselt kergemini hakkama saada?
Tegelikult on see olemas ja vastus peitub eksponentide loomulikus täienduses, mis on lõbus ja kasulik kogus, mida nimetatakse logaritmid.
Mis on eksponendid?
An eksponent, mida nimetatakse ka a võimon tihendatud viis arvu korduvate korrutiste väljendamiseks iseenesest. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Mis tahes arv, mis on tõstetud 1 astmele, hoiab sama väärtust; suvaline arv astendiga 0 on võrdne 1-ga. Näiteks 721 = 72; 720 = 1.
Eksponendid võivad olla suhted negatiivsed
x- n= 1 / (xn). Neid saab väljendada ka murdosadena, näiteks 2(5/3). Murdarvudena väljendatuna peavad nii lugeja kui nimetaja olema täisarvud.Mis on logaritmid?
Logaritme või "logisid" võib pidada eksponentideks, mida väljendatakse millegi muu kui jõuna. Sellest pole ilmselt palju abi, nii et võib-olla mõni näide või kaks.
Väljendis 103 = 1,000, number 10 on alusja see tõstetakse kolmandale võimule (või võimsus kolm). Võite seda väljendada järgmiselt: "Kolmandale astmele tõstetud kümne alus võrdub 1000-ga".
Logaritmi näide on logi10(1,000) = 3. Pange tähele, et arvud ja nende omavahelised suhted on samad, mis eelmises näites, kuid neid on teisaldatud. Sõnades tähendab see, et "palgialus 10 1000-st on võrdne 3-ga".
Parempoolne suurus on võimsus, milleni tuleb tõsta 10 baas, et see võrduks argumentvõi logi sisestus, sulgudes olev väärtus (antud juhul 1000). See väärtus peab olema positiivne, sest alus - mis võib olla ka muu arv kui 10, kuid mille väljajätmisel eeldatakse olevat 10, näiteks "log 4" - on samuti alati positiivne.
Kasulikud logaritmireeglid
Kuidas siis logide ja eksponentide vahel hõlpsalt töötada? Mõni reegel logide käitumise kohta aitab teil asendada eksponentprobleeme.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Eksponendi lahendamine
Ülaltoodud teabe põhjal olete valmis proovima võrrandi eksponendi lahendamist.
Näide: kui 50 = 4x, mis on x?
Kui viite logi mõlema külje alusele 10 ja jätate aluse selgesõnalise identifitseerimise, saab sellest log 50 = log 4x. Ülaltoodud kastist teate seda logi 4x = x log 4. See jätab teile
log 50 = x log 4 või x = (log 50) / (log 4).
Oma valitud kalkulaatori või elektroonilise seadme abil leiate, et lahendus on (1,689 / 0,602) = 2.82.
Eksponentsiaalsete võrrandite lahendamine e
Samad reeglid kehtivad ka siis, kui baas on e, niinimetatud looduslik logaritm, mille väärtus on umbes 2,7183. Selle jaoks peaks ka teie kalkulaatoris olema nupp. Ka see väärtus saab oma tähistuse: logex on kirjutatud lihtsalt "ln x".
- Funktsioon y = ex i, kus e pole muutuja, vaid selle väärtusega konstant, on kõigi x ja y puhul ainus funktsioon, mille kalle on võrdne tema enda kõrgusega.
- Täpselt nagu logi1010x = x, e ex = x kõigi x jaoks.
Näide: Lahendage võrrand 16 = e2,7x.
Nagu ülalpool, ln 16 = ln e2,7x = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, seega x = 2/77 / 2,7 = 1.03.