Matemaatikas kasutatakse väite ümberlükkamiseks vastunäidet. Kui soovite tõestada väite õigsust, peate kirjutama tõendi, et tõestada, et see on alati tõsi; näite toomisest ei piisa. Võrreldes tõendi kirjutamisega on vastunäite kirjutamine palju lihtsam; kui soovite näidata, et väide ei vasta tõele, peate esitama ainult ühe näite stsenaariumist, kus väide on vale. Enamik algebra vastunäiteid hõlmavad numbrilisi manipulatsioone.
Kaks matemaatika klassi
Tõendite kirjutamine ja vastunäidete leidmine on matemaatika kaks peamist klassi. Enamik matemaatikuid keskendub uute teoreemide ja omaduste väljatöötamisel tõestusmaterjalide kirjutamisele. Kui väiteid või oletusi ei saa tõeseks tõestada, lükkavad matemaatikud need vastu, näiteks vastunäited.
Vastunäited on konkreetsed
Muutujate ja abstraktsete tähiste kasutamise asemel võite argumendi ümber lükata numbriliste näidete abil. Algebras hõlmab enamik vastunäiteid manipuleerimist, kasutades erinevaid positiivseid ja negatiivseid või paarituid ja paarisarvusid, äärmuslikke juhtumeid ja erinumbreid nagu 0 ja 1.
Üks vastunäide on piisav
Vastunäite filosoofia on see, et kui ühe stsenaariumi korral ei pea väide paika, siis on väide vale. Mitte-matemaatiline näide on "Tom pole kunagi valet rääkinud". Selle väite tõesuse näitamiseks peate esitama "tõendi" selle kohta, et Tom pole kunagi valet öelnud, jälgides kõiki väiteid, mida Tom on kunagi teinud. Selle väite ümberlükkamiseks peate aga näitama ainult ühte valet, mida Tom on kunagi rääkinud.
Kuulsad vastunäited
"Kõik algarvud on paaritud." Ehkki peaaegu kõik algarvud, sealhulgas kõik üle 3 algarvud, on paarituid, on "2" algarv, mis on paarisarv; see väide on vale; "2" on asjakohane vastunäide.
"Lahutamine on kommutatiivne." Nii liitmine kui ka korrutamine on kommutatiivsed - neid saab teha suvalises järjekorras. See tähendab, et mis tahes reaalarvude a ja b korral on a + b = b + a ja a * b = b * a. Lahutamine ei ole siiski kommutatiivne; seda tõestav vastunäide on: 3 - 5 ei võrdu 5 - 3.
"Iga pidev funktsioon on eristatav." Absoluutfunktsioon | x | on kõigi positiivsete ja negatiivsete arvude puhul pidev; kuid see ei ole diferentseeritav x = 0 juures; alates | x | on pidev funktsioon, tõestab see vastunäide, et mitte kõiki pidevaid funktsioone ei saa eristada.