Ruutjuuri leidub sageli matemaatikas ja loodusteadustes ning nende küsimuste lahendamiseks peab iga õpilane korjama ruudujuurte põhitõed. Ruutjuured küsivad: "mis arv iseenesest korrutatuna annab järgmise tulemuse" ja sellisena nõuab nende väljatöötamine arvude peale mõtlemist veidi teistmoodi. Ruutjuure reeglitest saate aga hõlpsalt aru ja vastate kõikidele nendega seotud küsimustele, olenemata sellest, kas need nõuavad otsest arvutust või lihtsalt lihtsustamist.
TL; DR (liiga pikk; Ei lugenud)
Ruutjuur küsib, milline number iseenesest korrutatuna annab tulemuse sümboli √ järel. Seega √9 = 3 ja √16 = 4. Igal juurel on tehniliselt positiivne ja negatiivne vastus, kuid enamasti on see positiivne vastus, mis teid huvitab.
Ruutjuuri saab arvestada nagu tavalisi numbreid, nii et √ab = √a √bvõi √6 = √2√3.
Mis on ruutjuur?
Ruudukujulised juured on vastand arvu ruutu võtmisele või selle korrutamisele iseendaga. Näiteks kolm ruutu on üheksa (32 = 9), seega on üheksa ruutjuur kolm. Sümbolites on see nii
\ sqrt {9} = 3
Sümbol √ käsib teil võtta arvu ruutjuure ja selle leiate enamikust kalkulaatoritest.
Pidage meeles, et igal numbril on tegelikultkaksruudukujulised juured. Kolm korrutatuna kolmega võrdub üheksa, kuid negatiivne kolm korrutatuna negatiivse kolmega on samuti võrdne üheksa, nii et
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {ja} \ sqrt {9} = ± 3
± olekuga pluss või miinus. Paljudel juhtudel võite eirata arvude negatiivseid ruutjuure, kuid mõnikord on oluline meeles pidada, et igal numbril on kaks juurt.
Teil võidakse paluda võtta numbri kuupjuur või neljas juur. Kuubikujuur on number, mis kahekordistades iseendaga võrdub algse numbriga. Neljas juur on arv, mis iseenesest kolm korda korrutatuna võrdub algse numbriga. Nagu ruudujuured, on need ka numbrite jõu võtmise vastandid. Niisiis, 33 = 27 ja see tähendab, et 27 kuupjuur on 3 või
\ sqrt [3] {27} = 3
Sümbol “∛” tähistab selle järel oleva numbri kuupjuuri. Juurte väljendatakse mõnikord ka murdjõududena, nii et
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {ja} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Ruutjuurte lihtsustamine
Üks kõige keerulisemaid ülesandeid, mida peate kandiliste juurtega täitma, on suurte ruutjuurte lihtsustamine, kuid nende küsimuste lahendamiseks peate lihtsalt järgima lihtsaid reegleid. Ruutjuuri saab arvutada samamoodi nagu tavanumbreid. Nii näiteks 6 = 2 × 3, nii
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Suuremate juurte lihtsustamine tähendab sammude kaupa faktoriseerimist ja ruutjuure definitsiooni meeles pidamist. Näiteks √132 on suur juur ja võib olla raske mõista, mida teha. Siiski näete, et see jagub kahega, nii et saate kirjutada
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Kuid 66 jagub ka 2-ga, nii et saate kirjutada:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
Sellisel juhul annab arvu ruutjuur korrutatuna teise ruutjuurega lihtsalt algse numbri (ruutjuure määratluse tõttu), nii et
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
Lühidalt öeldes saate ruudujuuri lihtsustada järgmiste reeglite abil
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
Mis on ruutjuur ...
Kasutades ülaltoodud määratlusi ja reegleid, leiate enamiku arvude ruutjuured. Siin on mõned näited, mida kaaluda.
Ruutjuur 8-st
Seda ei saa otseselt leida, kuna see pole täisarvu ruutjuur. Lihtsustamise reeglite kasutamine annab aga järgmist:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
4 ruutjuur
See kasutab lihtsat ruutjuurt 4, mis on √4 = 2. Probleemi saab täpselt lahendada kalkulaatori abil ja √8 = 2,8284 ...
Ruutjuur 12-st
Sama lähenemist kasutades proovige välja arvutada ruutjuur 12-st. Jagage juur teguriteks ja vaadake, kas saate selle uuesti teguriteks jagada. Proovige seda praktikaprobleemina ja vaadake seejärel järgmist lahendust:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Jällegi saab seda lihtsustatud avaldist kas probleemides vastavalt vajadusele kasutada või kalkulaatori abil täpselt arvutada. Kalkulaator näitab seda
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3,4641….
20 ruutjuur
20 ruutjuure võib leida samamoodi:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4,4721….
Ruutjuur 32-st
Lõpuks lahendage 32-ga ruutjuur, kasutades sama lähenemist:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Pange tähele, et me arvutasime juba ruutjuure 8 väärtuseks 2√2 ja et √4 = 2, seega:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5,657 ...
Negatiivse arvu ruutjuur
Kuigi ruutjuure määratlus tähendab, et negatiivsetel arvudel ei tohiks olla ruutjuurt (kuna mis tahes arv korrutis ise annab sellest tulenevalt positiivse arvu), kohtusid matemaatikud nendega algebras probleemide osana ja mõtlesid välja a lahendus. “Kujuteldav” numberitähendab "ruutjuur miinus 1" ja muud negatiivsed juured väljendatakse korrutistenai. Niisiis
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Need probleemid on keerulisemad, kuid saate õppida neid lahendama lähtudes määratlusestija juurte standardreeglid.
Näidisküsimused ja vastused
Kontrollige ruutjuurte mõistmist, lihtsustades vastavalt vajadusele ja arvutades seejärel järgmised juured:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Enne allpool toodud vastuste vaatamist proovige need lahendada:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196