Avektoron suurus, millega on seotud nii suurus kui ka suund. See on erinev kui askalaarnekogus, mis vastab ainult suurusele. Kiirus on vektorkoguse näide. Sellel on nii suurusjärk (kui kiiresti midagi läheb) kui ka suund (suund, kuhu see liigub).
Vektorid joonistatakse sageli nooltena. Noole pikkus vastab vektori suurusele ja noole punkt näitab suunda.
Vektorite liitmise ja lahutamisega töötamiseks on kaks võimalust. Esimene on graafiliselt, manipuleerides vektorite enda nooltskeemidega. Teine on matemaatiliselt, mis annab täpsed tulemused.
Graafilise vektori liitmine ja lahutamine ühes dimensioonis
Kahe vektori lisamisel asetate teise vektori saba esimese vektori otsa, säilitades samas vektori orientatsiooni. Thetulemuseks olev vektoron vektor, mis algab esimese vektori sabast ja osutab sirgjooneliselt teise vektori otsa.
Näiteks kaaluge vektorite lisamistAjaBmis näitavad joont mööda samas suunas. Asetame need otsast saba ja saadud vektor,C, osutab samas suunas ja selle pikkus on pikkuste summaAjaB.
Vektorite lahutamine ühes dimensioonis on sisuliselt sama, mis liitmine, välja arvatud see, et te "keerate" teise vektori. See tuleneb otseselt sellest, et lahutamine on sama mis negatiivi liitmine.
Matemaatiline vektori liitmine ja lahutamine ühes dimensioonis
Ühes mõõtmes töötades saab vektori suuna märkidega näidata. Valime positiivseks suunaks ühe suuna (tavaliselt valitakse positiivseks „üles“ või „parem“) ja määrame kõik selles suunas osutavad vektorid positiivseks suuruseks. Iga vektor, mis osutab negatiivses suunas, on negatiivne suurus. Vektorite liitmisel või lahutamisel lisage või lahutage nende suurus vastavate lisatud märkidega.
Oletame, et eelmises jaotises on vektorAoli 3 ja vektorBoli suurusjärgus 5. Seejärel saadud vektorC = A + B =8, positiivses suunas osutav suurusjärgu vektor ja sellest tulenev vektorD = A - B =-2, negatiivse suuna suunas olev suurusjärgus 2 olev vektor. Pange tähele, et see on kooskõlas varasemate graafiliste tulemustega.
Näpunäide: lisage ainult sama tüüpi vektoreid: kiirus + kiirus, jõud + jõud ja nii edasi. Nagu kogu füüsika matemaatika puhul, peavad ka üksused omavahel kokku sobima!
Graafiline vektori liitmine ja lahutamine kahes mõõtmes
Kui esimene ja teine vektor ei asu ristkülikukujulises ruumis sama joont mööda, saate nende lisamiseks või lahutamiseks kasutada sama meetodit otsast sabani. Kahe vektori lisamiseks kujutlege lihtsalt teise tõstmist ja saba asetamist esimese otsa külge, hoides samal ajal orientatsiooni nagu näidatud. Saadud vektor on nool, mis algab esimese vektori sabast ja lõpeb teise vektori otsaga:
Nii nagu ühes dimensioonis, võrdub ühe vektori lahutamine teisest flipimise ja liitmisega. Graafiliselt näeb see välja järgmine:
•••Dana Chen | Teadmine
Märkus: Mõnikord kuvatakse vektorite liitmine graafiliselt, lisades kahe liitmisvektori saba kokku ja luues rööpküliku. Saadud vektor on siis selle rööpküliku diagonaal.
Matemaatiline vektori liitmine ja lahutamine kahes mõõtmes
Vektorite matemaatiliselt kahes dimensioonis lisamiseks ja lahutamiseks toimige järgmiselt.
Lagundada iga vektor anatomiksx-komponent, mida mõnikord nimetatakse horisontaalseks komponendiks, ja ay-komponent, mida mõnikord nimetatakse vertikaalseks komponendiks, kasutades trigonomeetriat. (Pange tähele, et komponendid võivad olla kas negatiivsed või positiivsed, olenevalt sellest, millises suunas vektor osutab)
Lisagex- mõlema vektori komponendid koos ja seejärel lisagey- mõlema vektori komponendid koos. See tulemus annab teilexjaysaadud vektori komponendid.
Saadud vektori suuruse saab leida Pythagorase teoreemi abil.
Saadud vektori suuna saab leida trigonomeetria abil, kasutades pöördfunktsiooni tangensit. See suund antakse tavaliselt positiivse suhtes nurganax-telg.
Trigonomeetria vektorite lisamisel
Meenutage trigonomeetriast täisnurga kolmnurga külgede ja nurkade vahelisi seoseid.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ teeta) = \ frac {b} {a}
Pythagorase teoreem:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Mürsu liikumine pakub klassikalisi näiteid selle kohta, kuidas saaksime neid seoseid kasutada nii vektori lagundamiseks kui ka vektori lõpliku suuruse ja suuna määramiseks.
Mõelgem kahele saaki mängivale inimesele. Oletame, et teile öeldakse, et pall visatakse 1,3 m kõrguselt kiirusega 16 m / s horisontaaliga 50 kraadi nurga all. Selle probleemi analüüsimiseks peate selle algse kiirusvektori lahutamaxjaykomponendid nagu näidatud:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ teeta) = 16 korda \ cos (50) = 10,3 \ tekst {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ teeta) = 16 \ korda \ sin (50) = 12,3 \ tekst {m / s}
Kui püüdja igatseb palli ja see põrkab vastu maad, siis millise lõpliku kiirusega ta lööb?
Kinemaatiliste võrrandite abil saame kindlaks teha, et palli kiiruse lõplikud komponendid on:
v_ {xf} = 10.3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ text {m / s}
Pythagorase teoreem võimaldab meil leida suuruse:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ text {m / s}
Ja trigonomeetria võimaldab meil määrata nurga:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52,2 \ kraad
Vektorite liitmise ja lahutamise näide
Mõelge kurvi ümardavale autole. Oletamevisest auto onx-- suuna väärtusega 10 m / s javfon positiivsega 45-kraadise nurga allx-teljed tugevusega 10 m / s. Kui see muutus liikumises toimub 3 sekundi jooksul, siis milline on auto kiirenduse suurus ja suund pööramisel?
Meenutage seda kiirendustaon vektorkogus, mis on määratletud järgmiselt:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Kusvfjavion vastavalt lõpp- ja algkiirused (ja seega ka vektorkogused).
Vektorvahe arvutamiseksvf - vi,kõigepealt peame lagundama alg- ja lõplikud kiirusvektorid:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ tekst {m / s}
Siis lahutame finaalixjaykomponendid algusestxjaykomponendid komponentide saamiseksvf - vi:
Siis lahutamexjaykomponendid:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ tekst {m / s}
Seejärel jagage igaüks aja järgi, et saada kiirendusvektori komponendid:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2.36 \ text {m / s} ^ 2
Kiirendusvektori suuruse leidmiseks kasutage Pythagorase teoreemi:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ tekst {m / s} ^ 2
Lõpuks kasutage kiirendusvektori suuna leidmiseks trigonomeetriat:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2.36} {- 0.977} \ Big) = 113 \ kraadi