Cómo calcular CG

Antes de discutir el centro de gravedad, supongamos algunos parámetros. Uno, que estás tratando con un objeto que está en la superficie de la Tierra, no en el espacio en algún lugar. Y dos, que el objeto es razonablemente pequeño, digamos, no una nave espacial estacionada en la Tierra, esperando despegar. Una vez que se eliminan todas esas influencias extraterrestres, está en una buena posición para calcular el centro de gravedad de los objetos geométricos utilizando un fórmula relativamente simple y, de hecho, debido a esas condiciones que se acaban de establecer, usará la misma fórmula para encontrar el centro de gravedad que para encontrar el centro de masa.

El centro de gravedad en un plano bidimensional generalmente se denota por las coordenadas (x_cg, y_cg) oa veces por las variablesXyycon una barra sobre ellos. Además, el término "centro de gravedad" a veces se abrevia como cg.

Su libro de texto de matemáticas o física a menudo tendrá gráficos para determinar el centro de equilibrio de ciertas figuras. Pero para algunas formas geométricas comunes, puede usar la fórmula apropiada del centro de gravedad para encontrar el centro de gravedad de esa forma.

Para los triángulos, el centro de gravedad se encuentra en el punto donde se cruzan las tres medianas. Si comienzas en un vértice del triángulo y luego trazas una línea recta hasta el punto medio del otro lado, esa es una mediana. Haz lo mismo con los otros dos vértices, y el punto donde las tres medianas se cruzan es el centro de gravedad del triángulo.

Y, por supuesto, hay una fórmula para eso. Si las coordenadas del centro de gravedad del triángulo son (x_cg, y_cg), encuentra sus coordenadas así:

Donde (x₁, y₁), (X₂, y₂) y (x₃, y₃) son las coordenadas de los tres vértices del triángulo. Puedes elegir a qué vértice se le asigna qué número.

¿Notaste que para encontrar el centro de gravedad de un triángulo, simplemente promedia el valor de las coordenadas x, luego promedia el valor de las coordenadas y, y usa los dos resultados como coordenadas para tu centro de gravedad?

Para encontrar el centro de gravedad de un rectángulo, haga exactamente lo mismo. Pero para facilitar aún más los cálculos, suponga que el rectángulo está orientado directamente a un cartesiano. plano de coordenadas (por lo que no se establece en un ángulo), y que su vértice inferior izquierdo está en el origen de la grafico. En ese caso, para encontrar (x_cg, y_cg) para un rectángulo, todo lo que tienes que calcular es:

Si no desea reubicar su rectángulo al origen del plano de coordenadas o si por alguna razón no es exactamente cuadrado al ejes de coordenadas, puede enfrentar esta fórmula de aspecto un poco más aterrador, pero aún efectiva, para promediar todas sus coordenadas x para encontrar el valor de x_cgy promediar todas las coordenadas y para encontrar el valor de y_cg:

¿Qué sucede si necesita calcular el centro de gravedad para una forma que se ajuste a todos los supuestos mencionados en primer lugar (básicamente, no está tratando de hacer ciencia espacial literal encontrando el centro de gravedad de los objetos en el espacio), pero no se incluye en ninguna de las categorías que se acaban de mencionar ni en los gráficos de la parte posterior ¿libro de texto? Luego, puede subdividir su forma en formas más familiares y usar las siguientes ecuaciones para encontrar su centro de gravedad colectivo:

O para decirlo de otra manera, x_cg es igual al área de la sección 1 por su ubicación en el eje x, sumada al área de la sección 2 veces por su ubicación, y así sucesivamente hasta que haya sumado el área por la ubicación de todas las secciones; luego divida esa cantidad total por el área total de todas las secciones. Luego haz lo mismo con y.

​P: ¿Cómo encuentro el área de cada sección?Dividir su forma compleja o irregular en polígonos más familiares le permite usar fórmulas estandarizadas para encontrar el área. Por ejemplo, si ha dividido esa forma en piezas rectangulares, puede usar la fórmula largo × ancho para encontrar el área de cada pieza.

​P: ¿Cuál es la "ubicación" de cada sección?La ubicación de cada sección es la coordenada apropiada desde el centro de gravedad de esa sección. Así que si quieres y₂ (la ubicación del segmento 2), en realidad necesita proporcionar la coordenada y para el centro de gravedad de ese segmento. Nuevamente, esta es la razón por la que subdivide un objeto de forma extraña en formas más familiares, porque puede usar el fórmulas ya discutidas para encontrar el centro de gravedad de cada forma, y ​​luego extraer la coordenada apropiada (s).

​P: ¿A dónde va mi forma en el plano de coordenadas?Puede elegir dónde se encuentra su forma en el plano de coordenadas; solo tenga en cuenta que el centro de gravedad de su respuesta estará en relación con el mismo punto de referencia. Es más fácil colocar su objeto en el primer cuadrante de su gráfico, con su borde inferior contra el eje x y el borde izquierdo contra el eje y para que todos los valores xey sean positivos, pero también lo suficientemente pequeños como para ser manejable.

Si está tratando con un solo objeto, la intuición y un poco de lógica son a veces todo lo que necesita para encontrar su centro de gravedad. Por ejemplo, si está considerando un disco plano, el centro de gravedad será el centro del disco. En un cilindro, es el punto medio del eje del cilindro. Para un rectángulo (o cuadrado), es el punto donde convergen las líneas diagonales.

Es posible que haya notado un patrón aquí: si el objeto en cuestión tiene una línea de simetría, el centro de gravedad estará en esa línea. Y si tiene múltiples ejes de simetría, el centro de gravedad estará donde esos ejes se cruzan.

Finalmente, si está tratando de encontrar el centro de gravedad de un objeto verdaderamente complejo, tiene dos opciones: O bien, saque sus mejores integrales de cálculo (consulte Recursos para una integral triple que representa el centro de gravedad de una masa no uniforme) o ingrese sus datos en un centro de gravedad especialmente diseñado calculadora. (Consulte Recursos para ver un ejemplo de una calculadora de centro de gravedad para aviones controlados por radio).