Movimiento de proyectilesse refiere al movimiento de una partícula a la que se le imparte una velocidad inicial pero que posteriormente no se somete a ninguna fuerza además de la gravedad.
Esto incluye problemas en los que una partícula se lanza en un ángulo entre 0 y 90 grados con respecto a la horizontal, siendo la horizontal generalmente el suelo. Por conveniencia, se supone que estos proyectiles viajan en el (x, y) avión, conXque representa el desplazamiento horizontal yyDesplazamiento vertical.
El camino tomado por un proyectil se conoce como sutrayectoria. (Tenga en cuenta que el vínculo común entre "proyectil" y "trayectoria" es la sílaba "-ject", la palabra latina para "lanzar". Expulsar a alguien es, literalmente, echarlo). El punto de origen del proyectil en problemas en los que necesita calcular la trayectoria generalmente se supone que es (0, 0) por simplicidad a menos que sea de otra manera fijado.
La trayectoria de un proyectil es una parábola (o al menos traza una parte de una parábola) si la partícula se lanza de tal manera que tiene un componente de movimiento horizontal distinto de cero, y no hay resistencia del aire que afecte la partícula.
Las ecuaciones cinemáticas
Las variables de interés en el movimiento de una partícula son sus coordenadas de posiciónXyy, su velocidadv, y su aceleracióna, todo en relación con un tiempo transcurrido determinadotdesde el inicio del problema (cuando la partícula es lanzada o liberada). Tenga en cuenta que la omisión de masa (m) implica que la gravedad en la Tierra actúa independientemente de esta cantidad.
Tenga en cuenta también que estas ecuaciones ignoran el papel de la resistencia del aire, que crea una fuerza de arrastre que se opone al movimiento en situaciones reales de la Tierra. Este factor se introduce en los cursos de mecánica de nivel superior.
Las variables que reciben un subíndice "0" se refieren al valor de esa cantidad en el momentot= 0 y son constantes; a menudo, este valor es 0 gracias al sistema de coordenadas elegido, y la ecuación se vuelve mucho más simple. La aceleración se trata como constante en estos problemas (y está en la dirección y es igual a -gramo,o–9,8 m / s2, la aceleración debida a la gravedad cerca de la superficie de la Tierra).
Movimiento horizontal:
x = x_0 + v_xt
- El termino
vXes la velocidad x constante.
Movimiento vertical:
y = y_0 + ((v_ {0y} + v_y) / 2) t \\ v_y = v_ {0y} -gt \\ y = y_0 + v_ {0y} t- (1/2) gt ^ 2 \\ v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2-2g (y-y_0)
Ejemplos de movimiento de proyectiles
La clave para poder resolver problemas que incluyen cálculos de trayectoria es saber que los componentes horizontal (x) y vertical (y) de El movimiento se puede analizar por separado, como se muestra arriba, y sus respectivas contribuciones al movimiento general se suman claramente al final del problema.
Los problemas de movimiento de proyectiles cuentan como problemas de caída libre porque, no importa cómo se vean las cosas después de un tiempot= 0, la única fuerza que actúa sobre el objeto en movimiento es la gravedad.
- Tenga en cuenta que debido a que la gravedad actúa hacia abajo, y esta es la dirección y negativa, el valor de la aceleración es -g en estas ecuaciones y problemas.
Cálculos de trayectoria
1. Los lanzadores más rápidos del béisbol pueden lanzar una pelota a poco más de 100 millas por hora, o 45 m / s. Si se lanza una pelota verticalmente hacia arriba a esta velocidad, ¿qué altura alcanzará y cuánto tardará en volver al punto en el que fue lanzada?
Aquívy0= 45 m / s, -gramo= –9,8 m / s, y las cantidades de interés son la altura máxima, oy,y el tiempo total de regreso a la Tierra. El tiempo total es un cálculo de dos partes: el tiempo hasta y, y el tiempo hasta y0 = 0. Para la primera parte del problema,vy,cuando la bola alcanza su altura máxima, es 0.
Empiece por usar la ecuaciónvy2= v0 años2 - 2g (y - y0)y conectando los valores que tiene:
0 = (45) ^ 2 - (2) (9.8) (y - 0) = 2025 - 19.6y \ implica y = 103.3 \ text {m}
La ecuacionvy = v0 años - gtmuestra que el tiempo t es (45 / 9,8) = 4,6 segundos. Para obtener el tiempo total, agregue este valor al tiempo que tarda la bola en caer libremente hasta su punto de partida. Esto viene dado pory = y0 + v0 añost - (1/2) gt2, donde ahora, debido a que la bola está todavía en el instante antes de que comience a caer en picado,v0 años = 0.
Resolviendo:
103,3 = (1/2) gt ^ 2 \ implica t = 4,59 \ text {s}
Por tanto, el tiempo total es 4,59 + 4,59 = 9,18 segundos. El resultado quizás sorprendente de que cada "tramo" del viaje, arriba y abajo, tomó el mismo tiempo subraya el hecho de que la gravedad es la única fuerza en juego aquí.
2. La ecuación de rango:Cuando se lanza un proyectil a una velocidadv0y un ángulo θ de la horizontal, tiene componentes iniciales de velocidad horizontal y verticalv0x = v0(cos θ) yv0 años = v0(pecado θ).
Porquevy = v0 años - gt, yvy = 0 cuando el proyectil alcanza su altura máxima, el tiempo hasta la altura máxima viene dado por t =v0 años/g. Debido a la simetría, el tiempo que tomará volver al suelo (o y = y0) es simplemente 2t = 2v0 años/gramo.
Finalmente, combinando estos con la relación x =v0xt, la distancia horizontal recorrida dado un ángulo de lanzamiento θ es
R = 2 \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta}} {g} = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {2 \ theta}} {g}
(El paso final proviene de la identidad trigonométrica 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Dado que sin2θ está en su valor máximo de 1 cuando θ = 45 grados, el uso de este ángulo maximiza la distancia horizontal para una velocidad dada en
R = \ frac {v_0 ^ 2} {g}