Si te gustan las rarezas matemáticas, te encantará el triángulo de Pascal. Nombrado en honor al matemático francés del siglo XVII Blaise Pascal, y conocido por los chinos durante muchos siglos antes de Pascal como el triángulo de Yanghui, en realidad es más que una rareza. Es una disposición específica de números que es increíblemente útil en álgebra y teoría de probabilidades. Algunas de sus características son más desconcertantes e interesantes que útiles. Ayudan a ilustrar la misteriosa armonía del mundo descrita por los números y las matemáticas.
La regla para construir el triángulo de Pascal no podría ser más sencilla. Comience con el número uno en el vértice y forme la segunda fila debajo de él con un par de unos. Para construir la tercera fila y todas las siguientes, comience colocando una al principio y al final. Derive cada dígito entre este par de unos sumando los dos dígitos inmediatamente arriba. Por tanto, la tercera fila es 1, 2, 1, la cuarta fila es 1, 3, 3, 1, la quinta fila es 1, 4, 6, 4, 1 y así sucesivamente. Si cada dígito ocupa una caja que es del mismo tamaño que todas las demás cajas, la disposición forma un perfecto triángulo equilátero delimitado en dos lados por unos y con una base de longitud igual al número de la fila. Las filas son simétricas en el sentido de que se leen lo mismo hacia adelante y hacia atrás.
Pascal descubrió el triángulo, que había sido conocido durante siglos por los filósofos persas y chinos, cuando estaba estudiando la expansión algebraica de la expresión (x + y)norte. Cuando expande esta expresión a la enésima potencia, los coeficientes de los términos en la expansión corresponden a los números en la enésima fila del triángulo. Por ejemplo, (x + y)0 = 1; (x + y)1 = x + y; (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 y así. Por esta razón, los matemáticos a veces llaman a la disposición el triángulo de coeficientes binomiales. Para números grandes de n, obviamente es más fácil leer los coeficientes de expansión del triángulo que calcularlos.
Suponga que lanza una moneda un cierto número de veces. ¿Cuántas combinaciones de cara y cruz puedes conseguir? Puedes averiguarlo mirando la fila del triángulo de Pascal que corresponde a la cantidad de veces que lanzas la moneda y sumando todos los números en esa fila. Por ejemplo, si lanza la moneda 3 veces, hay 1 + 3 + 3 + 1 = 8 posibilidades. La probabilidad de obtener el mismo resultado tres veces seguidas es, por tanto, de 1/8.
De manera similar, puede usar el triángulo de Pascal para encontrar de cuántas formas puede combinar objetos u opciones de un conjunto dado. Suponga que tiene 5 bolas y desea saber de cuántas formas puede elegir dos de ellas. Simplemente vaya a la quinta fila y mire la segunda entrada para encontrar la respuesta, que es 5.