La raíz cuadrada de un número es un valor que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número original. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 0 es 0, la raíz cuadrada de 100 es 10 y la raíz cuadrada de 50 es 7.071. A veces, puede averiguar, o simplemente recordar, la raíz cuadrada de un número que en sí mismo es un "cuadrado perfecto", que es el producto de un número entero multiplicado por sí mismo; A medida que avanza en sus estudios, es probable que desarrolle una lista mental de estos números (1, 4, 9, 25, 36.. .).
Los problemas relacionados con las raíces cuadradas son indispensables en la ingeniería, el cálculo y prácticamente en todos los ámbitos del mundo moderno. Aunque puede localizar fácilmente las calculadoras de ecuaciones de raíz cuadrada en línea (consulte Recursos para ver un ejemplo), resolver ecuaciones de raíz cuadrada es un factor importante. habilidad en álgebra, porque le permite familiarizarse con el uso de radicales y trabajar con varios tipos de problemas fuera del ámbito de las raíces cuadradas per se.
Cuadrados y raíces cuadradas: propiedades básicas
El hecho de que multiplicar dos números negativos juntos da como resultado un número positivo es importante en el mundo de las raíces cuadradas porque implica que los números positivos en realidad tienen dos raíces cuadradas (por ejemplo, las raíces cuadradas de 16 son 4 y −4, incluso si solo la primera es intuitiva). De manera similar, los números negativos no tienen raíces cuadradas reales, porque no hay un número real que tome un valor negativo cuando se multiplica por sí mismo. En esta presentación, se ignorará la raíz cuadrada negativa de un número positivo, por lo que "raíz cuadrada de 361" se puede tomar como "19" en lugar de "−19 y 19".
Además, al tratar de estimar el valor de una raíz cuadrada cuando no hay una calculadora a mano, es importante darse cuenta de que las funciones que involucran cuadrados y raíces cuadradas no son lineales. Verá más sobre esto en la sección sobre gráficos más adelante, pero como ejemplo aproximado, ya ha observado que la raíz cuadrada de 100 es 10 y la raíz cuadrada de 0 es 0. A primera vista, esto podría llevarlo a adivinar que la raíz cuadrada de 50 (que está a la mitad entre 0 y 100) debe ser 5 (que está a la mitad entre 0 y 10). Pero también aprendiste que la raíz cuadrada de 50 es 7.071.
Finalmente, es posible que haya internalizado la idea de que multiplicar dos números juntos produce un número mayor que él mismo, lo que implica que las raíces cuadradas de los números son siempre más pequeñas que el original. número. ¡Este no es el caso! Los números entre 0 y 1 también tienen raíces cuadradas y, en todos los casos, la raíz cuadrada es mayor que el número original. Esto se muestra más fácilmente usando fracciones. Por ejemplo, 16/25, o 0,64, tiene un cuadrado perfecto tanto en el numerador como en el denominador. Esto significa que la raíz cuadrada de la fracción es la raíz cuadrada de sus componentes superior e inferior, que es 4/5. Esto es igual a 0,80, un número mayor que 0,64.
Terminología de raíz cuadrada
"La raíz cuadrada deX"generalmente se escribe usando lo que se llama un signo de radical, o simplemente un radical (√). Por lo tanto, para cualquierX:
\ sqrt {x}
representa su raíz cuadrada. Dando la vuelta a esto, el cuadrado de un númeroXse escribe usando un exponente de 2 (X2). Los exponentes toman superíndices en el procesamiento de textos y aplicaciones relacionadas, y también se les llama poderes. Debido a que los signos radicales no siempre son fáciles de producir a pedido, otra forma de escribir "la raíz cuadrada deX"es utilizar un exponente:
x ^ {1/2}
Esto a su vez es parte de un esquema general:
x ^ {(y / z)}
significa "subirXal poder dey, luego toma el 'z'raíz de ella ".X1/2 por lo tanto significa "subirXal primer poder, que es simplementeXde nuevo, y luego saca la raíz 2, o la raíz cuadrada. "Extendiendo esto,X(5/3) significa "subirXelevado a la potencia de 5, luego encuentre la tercera raíz (o raíz cúbica) del resultado ".
Los radicales se pueden usar para representar raíces distintas de 2, la raíz cuadrada. Esto se hace simplemente agregando un superíndice en la esquina superior izquierda del radical.
\ sqrt [3] {x ^ 5}
entonces, representa el mismo número queX(5/3) del párrafo anterior sí.
La mayoría de las raíces cuadradas son números irracionales. Esto significa que no solo no son números enteros agradables y prolijos (por ejemplo, 1, 2, 3, 4.. .), pero tampoco pueden expresarse como un número decimal puro que termina sin tener que redondearse. Un número racional se puede expresar como fracción. Entonces, aunque 2.75 no es un número entero, es un número racional porque es lo mismo que la fracción 11/4. Se le dijo anteriormente que la raíz cuadrada de 50 es 7.071, pero esto en realidad se redondea a partir de un número infinito de lugares decimales. El valor exacto de √50 es 5√2, y verá cómo se determina pronto.
Gráficas de funciones de raíz cuadrada
Ya has visto que las ecuaciones que involucran cuadrados y raíces cuadradas no son lineales. Una forma fácil de recordar esto es que las gráficas de las soluciones de estas ecuaciones no son líneas. Esto tiene sentido, porque si, como se señaló, el cuadrado de 0 es 0 y el cuadrado de 10 es 100 pero el cuadrado de 5 no es 50, la gráfica resultante de simplemente elevar al cuadrado un número debe curvarse hacia la valores.
Este es el caso de la gráfica de
y = x ^ 2
como puede ver por sí mismo visitando la calculadora en Recursos y cambiando los parámetros. La línea pasa por el punto (0,0), y y no baja de 0, lo que debería esperar porque sabe queX2 nunca es negativo. También puede ver que la gráfica es simétrica alrededor dely-eje, que también tiene sentido porque cada raíz cuadrada positiva de un número dado está acompañada por una raíz cuadrada negativa de igual magnitud. Por lo tanto, con la excepción de 0, cadayvalor en el gráfico dey = X2 está asociado con dosX-valores.
Problemas de raíz cuadrada
Una forma de abordar los problemas básicos de raíz cuadrada a mano es buscar cuadrados perfectos "escondidos" dentro del problema. Primero, es importante conocer algunas propiedades vitales de los cuadrados y las raíces cuadradas. Uno de ellos es que, al igual que √X2 es simplemente igual aX(porque el radical y el exponente se anulan entre sí):
\ sqrt {x ^ 2y} = x \ sqrt {y}
Es decir, si tienes un cuadrado perfecto debajo de un radical multiplicando otro número, puedes "sacarlo" y usarlo como un coeficiente de lo que queda. Por ejemplo, volviendo a la raíz cuadrada de 50
\ sqrt {50} = \ sqrt {(25) (2)} = 5 \ sqrt {2}
A veces puede terminar con un número que involucra raíces cuadradas que se expresa como una fracción, pero sigue siendo un número irracional porque el denominador, el numerador o ambos contienen un radical. En tales casos, se le puede pedir que racionalice el denominador. Por ejemplo, el número
\ frac {6 \ sqrt {5}} {\ sqrt {45}}
tiene un radical tanto en el numerador como en el denominador. Pero después de examinar "45", es posible que lo reconozca como el producto de 9 y 5, lo que significa que
\ sqrt {45} = \ sqrt {(9) (5)} = 3 \ sqrt {5}
Por tanto, la fracción se puede escribir
\ frac {6 \ sqrt {5}} {3 \ sqrt {5}}
Los radicales se anulan entre sí y te quedas con 6/3 = 2.