Un exponente positivo te dice cuántas veces debes multiplicar el número base por sí mismo. Por ejemplo, el término exponencialy3 es lo mismo quey × y × y, oymultiplicado por sí mismo dos veces. Una vez que haya comprendido ese concepto básico, puede comenzar a agregar capas adicionales como exponentes negativos, exponentes fraccionarios o incluso una combinación de ambos.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Un exponente fraccionario negativoy −metro/norte se puede factorizar a la forma:
1 / (norte√y)metro
Factorizar potencias negativas
Antes de factorizar exponentes fraccionarios negativos, echemos un vistazo rápido a cómo factorizar exponentes negativos, o potencias negativas, en general. Un exponente negativo hace exactamente lo contrario de un exponente positivo. Entonces, mientras que un exponente positivo comoa4 te dice que multipliquesapor sí mismo tres veces (por lo que hay cuatro en total en la expresión), oa × a × a × a,ver un exponente negativo te dice quedividirporacuatro veces: entonces
a ^ {- 4} = \ frac {1} {a × a × a × a}
O, para decirlo de manera más formal:
x ^ {- y} = \ frac {1} {x ^ y}
Factorizar exponentes fraccionarios
El siguiente paso es aprender a factorizar exponentes fraccionarios. Comencemos con un exponente fraccionario muy simple, comoX1/y. Cuando ve un exponente fraccionario como este, significa que debe tomar elyla raíz del número base. Para decirlo de manera más formal:
x ^ {1 / y} = \ sqrt [y] {x}
Si eso parece confuso, algunos ejemplos más concretos pueden ayudar:
y ^ {1/3} = \ sqrt [3] {y} \\ b ^ {1/2} = \ sqrt {b}
(Recuerde, √Xes lo mismo que 2√X;pero esta expresión es tan común que el 2, o el número de índice, se omite).
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
¿Qué pasa si el numerador del exponente fraccionario no es 1? Entonces el valor de ese número permanece como un exponente, aplicado a todo el término "raíz". En términos formales, eso significa:
y ^ {m / n} = (\ sqrt [n] {y}) ^ m
Como ejemplo más concreto, considere esto:
a ^ {b / 5} = (\ sqrt [5] {a}) ^ b
Combinando exponentes negativos y fraccionarios
Cuando se trata de factorizar exponentes fraccionarios negativos, puede combinar lo que ha aprendido sobre factorizar expresiones con exponentes negativos y aquellos con exponentes fraccionarios.
Recuerda,
x ^ {- y} = \ frac {1} {x ^ y}
independientemente de lo que haya en elylugar;yincluso podría ser una fracción.
Entonces, si tienes una expresiónX −a/B, eso es igual a 1 / (Xa/B). Pero puedes simplificar un paso más aplicando también lo que sabes sobre exponentes fraccionarios al término en el denominador de la fracción.
Recuerda,
y ^ {m / n} = (\ sqrt [n] {y}) ^ m
o, para usar las variables con las que ya está trabajando,
x ^ {a / b} = (\ sqrt [b] {x}) ^ a
Entonces, yendo un paso más allá para simplificarX −a/B, tu tienes
x ^ {- a / b} = \ frac {1} {x ^ {a / b}} = \ frac {1} {(\ sqrt [b] {x}) ^ a}
Eso es todo lo que puede simplificar sin saber más sobreX, Bouna.Pero si sabe más sobre alguno de esos términos, es posible que pueda simplificar aún más.
Otro ejemplo de simplificación de exponentes negativos fraccionarios
Para ilustrar eso, aquí hay un ejemplo más con un poco más de información agregada:
Simplificar
16^{-4/8}
Primero, ¿notó que −4/8 se puede reducir a −1/2? Entonces tienes 16 −1/2, que ya parece mucho más amigable (y tal vez incluso más familiar) que el problema original.
Simplificando como antes, llegará a
16 ^ {- 1/2} = \ frac {1} {(\ sqrt [2] {16}) ^ 1}
que generalmente se escribe simplemente como
\ frac {1} {\ sqrt {16}}
Y como sabe (o puede calcular rápidamente) que √16 = 4, puede simplificar ese último paso para:
16 ^ {- 4/8} = \ frac {1} {4}