Aprender a manejar exponentes forma parte integral de cualquier educación matemática, pero afortunadamente las reglas para multiplicarlos y dividirlos coinciden con las reglas para exponentes no fraccionarios. El primer paso para entender cómo lidiar con exponentes fraccionarios es obtener un resumen de lo que son exactamente. y luego puede ver las formas en que puede combinar exponentes cuando se multiplican o dividen y tienen el mismo base. En resumen, sumas los exponentes al multiplicar y restar uno del otro al dividir, siempre que tengan la misma base.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Multiplica términos con exponentes usando la regla general:
Xa + XB = X(a + B)
Y divide términos con exponentes usando la regla:
Xa ÷ XB = X(a – B)
Estas reglas funcionan con cualquier expresión en lugar deayB, incluso fracciones.
¿Qué son los exponentes fraccionarios?
Los exponentes fraccionarios proporcionan una forma compacta y útil de expresar raíces cuadradas, cúbicas y superiores. El denominador del exponente te dice qué raíz del número "base" representa el término. En un término como
Xa, llamaXla base yael exponente. Entonces, un exponente fraccionario te dice:x ^ {1/2} = \ sqrt {x}
El denominador de dos en el exponente te dice que estás sacando la raíz cuadrada deXen esta expresión. La misma regla básica se aplica a las raíces superiores:
x ^ {1/3} = \ sqrt [3] {x}
Y
x ^ {1/4} = \ sqrt [4] {x}
Este patrón continúa. Para un ejemplo concreto:
9 ^ {1/2} = \ sqrt {9} = 3
Y
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Reglas de exponentes de fracciones: multiplicar exponentes de fracciones con la misma base
Multiplica términos con exponentes fraccionarios (siempre que tengan la misma base) sumando los exponentes. Por ejemplo:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3 + 1/3)} \\ = x ^ 1 = x
DesdeX1/3 significa "la raíz cúbica deX, "Tiene mucho sentido que esto multiplicado por sí mismo dos veces da el resultadoX. También puede encontrarse con ejemplos comoX1/3 × X1/3, pero los maneja exactamente de la misma manera:
x ^ {1/3} × x ^ {1/3} = x ^ {(1/3 + 1/3)} \\ = x ^ {2/3}
El hecho de que la expresión al final siga siendo un exponente fraccionario no supone ninguna diferencia en el proceso. Esto se puede simplificar si observa queX2/3 = (X1/3)2 = ∛X2. Con una expresión como esta, no importa si primero echas la raíz o el poder. Este ejemplo ilustra cómo calcular estos:
8 ^ {1/3} + 8 ^ {1/3} = 8 ^ {2/3} \\ = (\ sqrt [3] {8}) ^ 2
Dado que la raíz cúbica de 8 es fácil de calcular, aborde esto de la siguiente manera:
(\ sqrt [3] {8}) ^ 2 = 2 ^ 2 = 4
Entonces esto significa:
8^{1/3} + 8^{1/3}= 4
También puede encontrar productos de exponentes fraccionarios con diferentes números en los denominadores de las fracciones, y puede sumar estos exponentes de la misma manera que sumaría otras fracciones. Por ejemplo:
\ begin {alineado} x ^ {1/4} × x ^ {1/2} & = x ^ {(1/4 + 1/2)} \\ & = x ^ {(1/4 + 2/4 )} \\ & = x ^ {3/4} \ end {alineado}
Todas estas son expresiones específicas de la regla general para multiplicar dos expresiones con exponentes:
x ^ a + x ^ b = x ^ {(a + b)}
Reglas de exponentes fraccionarios: división de exponentes fraccionarios con la misma base
Aborde las divisiones de dos números con exponentes fraccionarios restando el exponente que está dividiendo (el divisor) por el que está dividiendo (el dividendo). Por ejemplo:
x ^ {1/2} ÷ x ^ {1/2} = x ^ {(1/2 - 1/2)} \\ = x ^ 0 = 1
Esto tiene sentido, porque cualquier número dividido por sí mismo es igual a uno, y esto concuerda con el resultado estándar de que cualquier número elevado a una potencia de 0 es igual a uno. El siguiente ejemplo usa números como bases y diferentes exponentes:
\ begin {align} 16 ^ {1/2} ÷ 16 ^ {1/4} & = 16 ^ {(1/2 - 1/4)} \\ & = 16 ^ {(2/4 - 1/4 )} \\ & = 16 ^ {1/4} \\ & = 2 \ end {alineado}
Que también puede ver si nota que 161/2 = 4 y 161/4 = 2.
Al igual que con la multiplicación, también puede terminar con exponentes fraccionarios que tienen un número diferente a uno en el numerador, pero los maneja de la misma manera.
Estos simplemente expresan la regla general para dividir exponentes:
x ^ a ÷ x ^ b = x ^ {(a - b)}
Multiplicar y dividir exponentes fraccionarios en diferentes bases
Si las bases de los términos son diferentes, no hay una manera fácil de multiplicar o dividir exponentes. En estos casos, simplemente calcule el valor de los términos individuales y luego realice la operación requerida. La única excepción es si el exponente es el mismo, en cuyo caso puede multiplicarlos o dividirlos de la siguiente manera:
x ^ 4 × y ^ 4 = (xy) ^ 4 \\ x ^ 4 ÷ y ^ 4 = (x ÷ y) ^ 4