Factorizar polinomios ayuda a los matemáticos a determinar los ceros o soluciones de una función. Estos ceros indican cambios críticos en tasas crecientes y decrecientes y generalmente simplifican el proceso de análisis. Para polinomios de grado tres o superior, lo que significa que el exponente más alto de la variable es tres o más, la factorización puede volverse más tediosa. En algunos casos, los métodos de agrupación acortan la aritmética, pero en otros casos es posible que necesite saber más sobre la función, o polinomio, antes de poder continuar con el análisis.
Analice el polinomio para considerar la factorización por agrupación. Si el polinomio está en la forma donde la eliminación del máximo común divisor (MCD) de la primeros dos términos y los dos últimos términos revelan otro factor común, puede emplear la agrupación método. Por ejemplo, sea F (x) = x³ - x² - 4x + 4. Cuando elimina el MCD de los dos primeros y últimos términos, obtiene lo siguiente: x² (x - 1) - 4 (x - 1). Ahora puede extraer (x - 1) de cada parte para obtener, (x² - 4) (x - 1). Usando el método de “diferencia de cuadrados”, puede ir más allá: (x - 2) (x + 2) (x - 1). Una vez que cada factor está en su forma primo o no factorizable, ya está.
Busque una diferencia o suma de cubos. Si el polinomio tiene solo dos términos, cada uno con un cubo perfecto, puede factorizarlo basándose en fórmulas cúbicas conocidas. Para sumas, (x³ + y³) = (x + y) (x² - xy + y²). Para diferencias, (x³ - y³) = (x - y) (x² + xy + y²). Por ejemplo, sea G (x) = 8x³ - 125. Luego, factorizar este polinomio de tercer grado se basa en una diferencia de cubos de la siguiente manera: (2x - 5) (4x² + 10x + 25), donde 2x es la raíz cúbica de 8x³ y 5 es la raíz cúbica de 125. Debido a que 4x² + 10x + 25 es primo, ha terminado de factorizar.
Vea si hay un MCD que contenga una variable que pueda reducir el grado del polinomio. Por ejemplo, si H (x) = x³ - 4x, factorizando el MCD de “x”, obtendría x (x² - 4). Luego, usando la técnica de la diferencia de cuadrados, puede descomponer aún más el polinomio en x (x - 2) (x + 2).
Utilice soluciones conocidas para reducir el grado del polinomio. Por ejemplo, sea P (x) = x³ - 4x² - 7x + 10. Debido a que no hay MCD o diferencia / suma de cubos, debe usar otra información para factorizar el polinomio. Una vez que averigüe que P (c) = 0, sabrá que (x - c) es un factor de P (x) basado en el "Teorema del factor" del álgebra. Por lo tanto, encuentre tal "c". En este caso, P (5) = 0, entonces (x - 5) debe ser un factor. Usando la división sintética o larga, obtienes un cociente de (x² + x - 2), que se factoriza en (x - 1) (x + 2). Por lo tanto, P (x) = (x - 5) (x - 1) (x + 2).