Cómo resolver ecuaciones de valor absoluto

Las ecuaciones de valor absoluto pueden ser un poco intimidantes al principio, pero si sigues así, pronto las resolverás fácilmente. Cuando intentas resolver ecuaciones de valor absoluto, es útil tener en cuenta el significado del valor absoluto.

Definición de valor absoluto

Lavalor absolutode un númeroX, escrito |X|, es su distancia desde cero en una recta numérica. Por ejemplo, −3 está a 3 unidades de cero, por lo que el valor absoluto de −3 es 3. Lo escribimos así: | −3 | = 3.

Otra forma de pensarlo es quevalor absolutoes la "versión" positiva de un número. Entonces, el valor absoluto de −3 es 3, mientras que el valor absoluto de 9, que ya es positivo, es 9.

Algebraicamente, podemos escribir unfórmula para valor absolutoque se ve así:

| x | = \ begin {cases} x & \ text {if} x≥ 0 \\ -x & \ text {if} x ≤ 0 \ end {cases}

Tome un ejemplo dondeX= 3. Como 3 ≥ 0, el valor absoluto de 3 es 3 (en notación de valor absoluto, eso es: | 3 | = 3).

Ahora que siX= −3? Es menos de cero, entonces | −3 | = - (−3). El opuesto o "negativo" de −3 es 3, entonces | −3 | = 3.

Resolver ecuaciones de valor absoluto

Ahora, algunas ecuaciones de valor absoluto. Los pasos generales para resolver una ecuación de valor absoluto son:

Aislar la expresión de valor absoluto.

Resuelve la "versión" positiva de la ecuación.

Resuelve la "versión" negativa de la ecuación multiplicando la cantidad en el otro lado del signo igual por -1.

Eche un vistazo al problema a continuación para ver un ejemplo concreto de los pasos.

Ejemplo: resuelve la ecuación paraX​:

| 3 + x | - 5 = 4

    Necesitarás conseguir | 3 +X| por sí mismo en el lado izquierdo del signo igual. Para hacer esto, agregue 5 a ambos lados:

    | 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9

    ResolverX¡como si el signo del valor absoluto no estuviera allí!

    | 3 + x | = 9 → 3 + x = 9

    Eso es fácil: simplemente reste 3 de ambos lados.

    3 + x -3 = 9-3 \\ x = 6

    Entonces, una solución a la ecuación es queX​ = 6.

    Empiece de nuevo en | 3 +X| = 9. El álgebra en el paso anterior mostró queXpodría ser 6. Pero dado que esta es una ecuación de valor absoluto, existe otra posibilidad a considerar. En la ecuación anterior, el valor absoluto de "algo" (3 +X) es igual a 9. Claro, el valor absoluto de 9 positivo es igual a 9, ¡pero aquí también hay otra opción! El valor absoluto de −9 también es igual a 9. Entonces, el "algo" desconocido también podría ser igual a −9.

    En otras palabras:

    3 + x = -9

    La forma más rápida de llegar a esta segunda versión es multiplicar la cantidad en el otro lado de la es igual a la expresión de valor absoluto (9, en este caso) por −1, luego resuelve la ecuación de allí.

    Entonces:

    | 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × (-1) \\ 3 + x = -9

    Resta 3 de ambos lados para obtener:

    3 + x -3 = -9-3 \\ x = -12

    Entonces las dos soluciones son:X= 6 oX​ = −12.

    ¡Y ahí lo tienes! Este tipo de ecuaciones requiere práctica, así que no se preocupe si tiene dificultades al principio. ¡Sigue así y será más fácil!

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