El álgebra a menudo implica la simplificación de expresiones, pero algunas expresiones son más confusas de manejar que otras. Los números complejos involucran la cantidad conocida comoI, un número "imaginario" con la propiedadI= √−1. Si simplemente tiene que usar una expresión que involucre un número complejo, puede parecer abrumador, pero es un proceso bastante simple una vez que aprende las reglas básicas.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Simplifique números complejos siguiendo las reglas del álgebra con números complejos.
¿Qué es un número complejo?
Los números complejos se definen por su inclusión de laItérmino, que es la raíz cuadrada de menos uno. En matemáticas de nivel básico, las raíces cuadradas de números negativos realmente no existen, pero ocasionalmente aparecen en problemas de álgebra. La forma general de un número complejo muestra su estructura:
z = a + bi
Dóndezetiqueta el número complejo,arepresenta cualquier número (llamado la parte "real"), yBrepresenta otro número (llamado la parte "imaginaria"), los cuales pueden ser positivos o negativos. Entonces, un ejemplo de número complejo es:
z = 2 −4i
Dado que todas las raíces cuadradas de números negativos se pueden representar por múltiplos deI, esta es la forma para todos los números complejos. Técnicamente, un número regular simplemente describe un caso especial de un número complejo dondeB= 0, por lo que todos los números podrían considerarse complejos.
Reglas básicas para álgebra con números complejos
Para sumar y restar números complejos, simplemente sume o reste las partes real e imaginaria por separado. Entonces, para números complejosz = 2 – 4Iyw = 3 + 5I, la suma es:
\ begin {alineado} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {alineado}
Restar los números funciona de la misma manera:
\ begin {alineado} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {alineado }
La multiplicación es otra operación simple con números complejos, porque funciona como una multiplicación ordinaria, excepto que debes recordar queI2 = −1. Entonces para calcular 3I × −4I:
3i × -4i = -12i ^ 2
Pero desdeI2= −1, entonces:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Con números complejos completos (usandoz = 2 – 4Iyw = 3 + 5Inuevamente), los multiplica de la misma manera que lo haría con números ordinarios como (a + B) (C + D), utilizando el método "primero, interior, exterior, último" (FOIL), para dar (a + B) (C + D) = C.A + antes de Cristo + anuncio + bd. Todo lo que tienes que recordar es simplificar cualquier instancia deI2. Así por ejemplo:
\ begin {alineado} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ end {alineado}
División de números complejos
Dividir números complejos implica multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por el complejo conjugado del denominador. El conjugado complejo simplemente significa la versión del número complejo con la parte imaginaria invertida en signo. Así que paraz = 2 – 4I, el complejo conjugadoz = 2 + 4I, y paraw = 3 + 5I, w = 3 −5I. Por el problema:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
El conjugado necesario esw*. Divida el numerador y el denominador por esto para obtener:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Y luego trabaja como en la sección anterior. El numerador da:
\ begin {alineado} (2 -4i) (3 -5i) & = 6-12i- 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {alineado}
Y el denominador da:
\ begin {alineado} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {alineado}
Esto significa:
\ begin {alineado} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ end {alineado}
Simplificando números complejos
Utilice las reglas anteriores según sea necesario para simplificar expresiones complejas. Por ejemplo:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Esto se puede simplificar usando la regla de la suma en el numerador, la regla de la multiplicación en el denominador y luego completando la división. Para el numerador:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Para el denominador:
\ begin {alineado} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4-2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ end {alineado}
Poner estos en su lugar da:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Multiplicar ambas partes por el conjugado del denominador conduce a:
\ begin {alineado} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {alineado}
Entonces esto significazsimplifica de la siguiente manera:
\ begin {alineado} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {alineado}