Principio de Bernoulli: definición, ecuación, ejemplos

¿Cómo vuelan los aviones? ¿Por qué una bola curva sigue un camino tan extraño? ¿Y por qué tienes que abordar elfuera dede sus ventanas durante una tormenta? Las respuestas a todas estas preguntas son las mismas: son el resultado del principio de Bernoulli.

El principio de Bernoulli, a veces también llamado efecto Bernoulli, es uno de los resultados más importantes en el estudio de la dinámica de fluidos, relacionando la velocidad del flujo de fluido con la presión del fluido. Esto puede no parecer particularmente importante, pero como muestra la gran variedad de fenómenos que ayuda a explicar, la regla simple puede revelar mucho sobre el comportamiento de un sistema. La dinámica de fluidos es el estudio del fluido en movimiento, por lo que tiene sentido que el principio y la ecuación que lo acompaña (la ecuación de Bernoulli) surjan con bastante regularidad en el campo.

Aprender sobre el principio, la ecuación que lo describe y algunos ejemplos del principio de Bernoulli en acción lo prepara para muchos problemas que encontrará en la dinámica de fluidos.

El principio de Bernoulli

El principio de Bernoulli lleva el nombre de Daniel Bernoulli, el físico y matemático suizo que lo desarrolló. El principio relaciona la presión del fluido con su velocidad y elevación, y se puede explicar mediante la conservación de energía. En resumen, establece que si la velocidad de un fluido aumenta, entonces su presión estática debe disminuir para compensar, o su energía potencial debe disminuir.

La relación con la conservación de la energía es clara a partir de esto: o la velocidad adicional proviene del potencial energía (es decir, la energía que posee debido a su posición) o de la energía interna que crea la presión del líquido.

Por lo tanto, el principio de Bernoulli explica las principales razones del flujo de fluidos que los físicos deben considerar en la dinámica de fluidos. O el fluido fluye como resultado de la elevación (por lo que su energía potencial cambia) o fluye debido a la presión. diferencias en diferentes partes del fluido (por lo que los fluidos en la zona de alta energía y alta presión se mueven a la de baja presión zona). El principio es una herramienta muy poderosa porque combina las razones por las que se mueve el fluido.

Sin embargo, lo más importante del principio es que el fluido que fluye más rápido tiene una presión más baja. Si recuerda esto, podrá aprender la lección clave del principio, y esto por sí solo es suficiente para explicar muchos fenómenos, incluidos los tres del párrafo introductorio.

Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli pone el principio de Bernoulli en términos más claros y cuantificables. La ecuación establece que:

P + \ frac {1} {2} \ rho v ^ 2 + \ rho gh = \ text {constante en todo}

AquíPAGes la presión,ρes la densidad del fluido,ves la velocidad del fluido,gramoes la aceleración debida a la gravedad yhes la altura o profundidad. El primer término de la ecuación es simplemente la presión, el segundo término es la energía cinética del fluido por unidad de volumen y el tercer término es la energía potencial gravitacional por unidad de volumen para el líquido. Todo esto se equipara a una constante, por lo que puede ver que si tiene el valor en un momento y el valor en un posterior tiempo, puede configurar los dos para que sean iguales entre sí, lo que demuestra ser una herramienta poderosa para resolver la dinámica de fluidos problemas:

P_1 + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 + \ rho gh_2

Sin embargo, es importante tener en cuenta las limitaciones de la ecuación de Bernoulli. En particular, se supone que hay una línea de corriente entre los puntos 1 y 2 (las partes etiquetadas por los subíndices), hay un flujo constante, hay no hay fricción en el flujo (debido a la viscosidad dentro del fluido o entre el fluido y los lados de la tubería) y que el fluido tiene una constante densidad. Generalmente, este no es el caso, pero para un flujo de fluido lento que puede describirse como flujo laminar, las aproximaciones de la ecuación son apropiadas.

Aplicaciones del principio de Bernoulli: un tubo con constricción

El ejemplo más común del principio de Bernoulli es el de un fluido que fluye a través de una tubería horizontal, que se estrecha en el medio y luego se abre de nuevo. Esto es fácil de resolver con el principio de Bernoulli, pero también necesita hacer uso de la ecuación de continuidad para resolverlo, que dice:

ρA_1v_1 = ρA_2v_2

Esto usa los mismos términos, aparte deA, que representa el área de la sección transversal del tubo, y dado que la densidad es igual en ambos puntos, estos términos pueden ignorarse a los efectos de este cálculo. Primero, reorganice la ecuación de continuidad para dar una expresión para la velocidad en la porción restringida:

v_2 = \ frac {A_1v_1} {A_2}

Esto luego se puede insertar en la ecuación de Bernoulli para resolver la presión en la sección más pequeña de la tubería:

P_1 + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 + \ rho gh_2 \\ P_1 + \ frac {1} {2 } \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho \ bigg (\ frac {A_1v_1} {A_2} \ bigg) ^ 2 + \ rho gh_2

Esto se puede reorganizar paraPAG2, señalando que en este caso,h1 = ​h2, por lo que se cancela el tercer término de cada lado.

P_2 = P_1 + \ frac {1} {2} \ rho \ bigg (v_1 ^ 2 - \ bigg (\ frac {A_1v_1} {A_2} \ bigg) ^ 2 \ bigg)

Usando la densidad del agua a 4 grados Celsius,ρ= 1000 kg / m3, El valor dePAG1 = 100 kPa, la velocidad inicial dev1 = 1,5 m / s, y áreas deA1 = 5.3 × 10−4 metro2 yA2 = 2.65 × 10−4 metro2. Esto da:

\ begin {align} P_2 & = 10 ^ 5 \ text {Pa} + \ frac {1} {2} × 1000 \ text {kg / m} ^ 3 \ bigg ((1.5 \ text {m / s}) ^ 2 - \ bigg (\ frac {5.3 × 10 ^ {- 4} \ text {m} ^ 2 × 1.5 \ text {m / s}} {2.65 × 10 ^ {- 4} \ text {m} ^ 2} \ bigg) ^ 2 \ bigg) \\ & = 9,66 × 10 ^ 4 \ text {Pa} \ end {alineado}

Como predice el principio de Bernoulli, la presión disminuye cuando hay un aumento en la velocidad de la tubería de constricción. Calcular la otra parte de este proceso implica básicamente lo mismo, excepto a la inversa. Técnicamente, habrá alguna pérdida durante la constricción, pero para un sistema simplificado en el que no es necesario tener en cuenta la viscosidad, este es un resultado aceptable.

Otros ejemplos del principio de Bernoulli

Algunos otros ejemplos del principio de Bernoulli en acción pueden ayudar a aclarar los conceptos. El más conocido es el ejemplo que proviene de la aerodinámica y el estudio del diseño de las alas de los aviones, o perfiles aerodinámicos (aunque existen algunos desacuerdos menores sobre los detalles).

La parte superior del ala de un avión es curva mientras que la parte inferior es plana, y debido a que la corriente de aire pasa desde un borde del ala a la otra en períodos iguales de tiempo, esto conduce a una presión más baja en la parte superior del ala que en la parte inferior de la ala. La diferencia de presión que la acompaña (según el principio de Bernoulli) crea la fuerza de sustentación que le da al avión sustentación y lo ayuda a despegar del suelo.

Las centrales hidroeléctricas también dependen del principio de Bernoulli para funcionar, en una de dos formas. Primero, en una presa hidroeléctrica, el agua de un embalse viaja por unos grandes tubos llamados compuertas, antes de golpear una turbina al final. En términos de la ecuación de Bernoulli, la energía potencial gravitacional disminuye a medida que el agua viaja por la tubería, pero en muchos diseños, el agua sale por lamismovelocidad. Según la ecuación, está claro que debe haber habido un cambio en la presión para equilibrar la ecuación y, de hecho, este tipo de turbina toma su energía de la energía de presión en el fluido.

Podría decirse que un tipo de turbina más simple de entender se llama turbina de impulso. Esto funciona reduciendo el tamaño del tubo antes de la turbina (usando una boquilla), lo que aumenta la velocidad del agua (de acuerdo con la ecuación de continuidad) y reduce la presión (por Bernoulli principio). La transferencia de energía en este caso proviene de la energía cinética del agua.

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