El producto de dos cantidades escalares es un escalar, y el producto de un escalar con un vector es un vector, pero ¿qué pasa con el producto de dos vectores? ¿Es un escalar u otro vector? La respuesta es, ¡podría ser cualquiera!
Hay dos formas de multiplicar vectores. Uno es tomando su producto escalar, que produce un escalar, y el otro es tomando su producto cruzado, lo que produce otro vector. Qué producto usar depende del escenario particular y de la cantidad que está tratando de encontrar.
Laproducto escalara veces se le conoce como elproducto escalaroproducto Interno. Geométricamente, puede pensar en el producto escalar entre dos vectores como una forma de multiplicar los valores del vector que solo cuenta las contribuciones en la misma dirección.
- Nota: Los productos de punto pueden ser negativos o positivos, pero ese signo no es una indicación de dirección. Aunque en una dimensión, la dirección del vector a menudo se indica con un signo, las cantidades escalares también pueden tener signos asociados que no son indicadores de dirección. La deuda es solo uno de los muchos ejemplos de esto.
Definición del producto punto
El producto escalar de los vectoresa = (unX, ay)yB = (bX, By)en un sistema de coordenadas cartesiano estándar se define de la siguiente manera:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Cuando tomas el producto escalar de un vector consigo mismo, surge una relación interesante:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Donde |a| es la magnitud (longitud) deapor el teorema de Pitágoras.
Se puede derivar otra fórmula de producto escalar utilizando la ley de los cosenos. Esto se hace de la siguiente manera:
Considere los vectores no ceroayBjunto con su vector de diferenciaa - b. Organiza los tres vectores para formar un triángulo.
La ley de los cosenos de la trigonometría nos dice que:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
Y usando la definición del producto escalar obtenemos:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Estableciendo ambas expresiones iguales y luego simplificando, obtenemos:
\ cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ cancelar {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ implica \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)}
Esta formulación permite que entre en juego nuestra intuición geométrica. La cantidad |a| cos (θ) es la magnitud de la proyección del vectoraen vectorB.
Entonces, podemos pensar en el producto escalar como la proyección de un vector sobre el otro, y luego el producto de sus valores. En otras palabras, puede verse como el producto de un vector con la cantidad del otro vector en la misma dirección que él.
Propiedades del producto escalar
Las siguientes son varias propiedades del producto escalar que pueden resultarle útiles:
\#\texto 1. Si} \ theta = 0 \ text {, entonces} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Esto se debe a que cos (0) = 1.
\ # \ text {2. Si} \ theta = 180 \ text {, entonces} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Esto se debe a que cos (180) = -1.
\ # \ text {3. Si} \ theta = 90 \ text {, entonces} \ bold {a \ cdot b} = 0
Esto se debe a que cos (90) = 0.
- Nota: para 0 <
θ
<90, el producto escalar será positivo y para 90 <
θ
<180, el producto escalar será negativo.
\ # \ text {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Esto se sigue de aplicar la ley conmutativa a la definición del producto escalar.
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Prueba:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
\ # \ text {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Prueba:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ negrita {b}
Cómo encontrar el producto escalar
Ejemplo 1:En física, el trabajo realizado por una fuerzaFsobre un objeto que sufre un desplazamientoD, Se define como:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Donde θ es el ángulo entre el vector de fuerza y el vector de desplazamiento.
La cantidad de trabajo realizado por una fuerza es una indicación de cuánto contribuyó esa fuerza al desplazamiento. Si la fuerza está en la misma dirección que el desplazamiento (cos (θ) = 0), hace su contribución máxima. Si es perpendicular al desplazamiento (cos (Ѳ) = 90), no realiza ninguna contribución. Y si es opuesto al desplazamiento, (cos (θ) = 180), hace una contribución negativa.
Suponga que un niño empuja un tren de juguete a través de una vía aplicando una fuerza de 5 N en un ángulo de 25 grados con respecto a la línea de la vía. ¿Cuánto trabajo hace el niño en el tren cuando lo mueve 0,5 m?
Solución:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0.5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ grados \\
Usando la definición de trabajo del producto escalar y conectando valores, obtenemos:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0.5 \ times \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
A partir de este ejemplo concreto, debería quedar aún más claro que aplicar una fuerza perpendicular a la dirección de desplazamiento no funciona. Si el niño empuja el tren en ángulo recto con la vía, el tren no avanzará ni retrocederá a lo largo de la vía. También es intuitivo que el trabajo realizado por el niño en el tren aumentará a medida que el ángulo disminuya y la fuerza y el desplazamiento estén más cerca de la alineación.
Ejemplo 2:La potencia es otro ejemplo de una cantidad física que se puede calcular utilizando un producto escalar. En física, la potencia es igual al trabajo dividido por el tiempo, pero también se puede escribir como el producto escalar de la fuerza y la velocidad, como se muestra:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Dóndeves la velocidad.
Considere el ejemplo anterior del niño jugando con el tren. Si, en cambio, se nos dice que se aplica la misma fuerza que hace que el tren se mueva a 2 m / s por la vía, entonces podemos usar el producto escalar para encontrar la potencia:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9.06 \ text {Watts}
Ejemplo 3:Otro ejemplo en el que se utilizan productos escalares en física es el caso del flujo magnético. El flujo magnético es la cantidad de campo magnético que atraviesa un área determinada. Se encuentra como el producto escalar del campo magnético.Bcon la zonaA. (La dirección de un vector de área esnormal, o perpendicular, a la superficie del área.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
Suponga que un campo de 0.02 Tesla pasa a través de un bucle de alambre de 10 cm de radio, formando un ángulo de 30 grados con la normal. ¿Qué es el flujo?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0.02 \ times (\ pi \ times0.1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0.000544 \ text {Wb}
Cuando este flujo cambia, ya sea cambiando el valor del campo, cambiando el área del bucle o cambiando el ángulo girando el bucle o la fuente de campo, la corriente se inducirá en el bucle, generando ¡electricidad!
Nuevamente observe cómo el ángulo es relevante de una manera intuitiva. Si el ángulo fuera de 90 grados, esto significaría que el campo estaría a lo largo del mismo plano que el área y no pasarían líneas de campo a través del bucle, lo que no produciría flujo. Entonces, la cantidad de flujo aumenta cuanto más se acerca el ángulo entre el campo y lo normal a 0. El producto escalar nos permite determinar qué parte del campo se encuentra en la dirección normal a la superficie y, por lo tanto, contribuye al flujo.
Proyección vectorial y el producto escalar
En secciones anteriores, se mencionó que el producto escalar se puede considerar como una forma de proyectar un vector sobre otro y luego multiplicar sus magnitudes. Como tal, no debería sorprender que una fórmula para la proyección vectorial pueda derivarse del producto escalar.
Para proyectar vectoraen vectorB, tomamos el producto escalar deacon unvector unitarioen la dirección deBy luego multiplique este resultado escalar por el mismo vector unitario.
Un vector unitario es un vector de longitud 1 que se encuentra en una dirección particular. El vector unitario en la dirección del vectorBes simplemente vectorBdividido por su magnitud:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Entonces esta proyección es entonces:
\ text {Proyección de} \ bold {a} \ text {sobre} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b}
El producto escalar en una dimensión superior
Así como los vectores existen en una dimensión superior, también existe el producto escalar. Imagínese el ejemplo del niño empujando el tren de nuevo. Suponga que empuja hacia abajo y en ángulo hacia el costado de la vía. En un sistema de coordenadas estándar, los vectores de fuerza y desplazamiento deberían representarse como tridimensionales.
Ennortedimensiones, el producto escalar se define como sigue:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Aún se aplican todas las mismas propiedades del producto escalar de antes, y la ley de los cosenos vuelve a dar la relación:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Donde la magnitud de cada vector se encuentra a través de lo siguiente, nuevamente consistente con el teorema de Pitágoras:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Cómo encontrar el producto escalar en tres dimensiones
Ejemplo 1:El producto escalar es particularmente útil cuando se necesita encontrar el ángulo entre dos vectores. Por ejemplo, suponga que queremos determinar el ángulo entrea= (2, 3, 2) yB= (1, 4, 0). Incluso si dibuja esos dos vectores en 3 espacios, puede ser muy difícil entender la geometría. Pero las matemáticas son bastante sencillas, usando el hecho de que:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ implica \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ negrita {a \ cdot b}} {| \ negrita {a} || \ negrita {b} |} \ Grande)
Luego, calculando el producto escalar deayB:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
Y calculando las magnitudes de cada vector:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12
Y finalmente conectando todo, obtenemos:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ times 4.12} \ Big) = \ boxed {34.4 \ degree}
Ejemplo 2:Una carga positiva se encuentra en el punto de coordenadas (3, 5, 4) en el espacio tridimensional. ¿En qué punto de la línea que apunta en la dirección del vectora= (6, 9, 5) ¿es el campo eléctrico el mayor?
Solución: A partir de nuestro conocimiento de cómo la intensidad del campo eléctrico se relaciona con la distancia, sabemos que el punto en la línea más cercana a la carga positiva está la ubicación donde el campo será el más fuerte. A partir de nuestro conocimiento de los productos punto, podríamos suponer que usar la fórmula de proyección tiene sentido aquí. Esa fórmula debería darnos un vector cuya punta esté exactamente en el punto que estamos buscando.
Necesitamos calcular:
\ text {Proyección de} (3, 5, 4) \ text {sobre} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Big) \ bold {a}
Para hacerlo, primero, busquemos |a|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Entonces el producto escalar:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ times6 + 5 \ times9 + 4 \ times5 = 83
Dividiendo esto por |a|2 da 83/142 = 0,585. Luego multiplicando este escalar porada:
0.585 \ bold {a} = 0.585 \ times (6,9,5) = (3.51,5.27,2.93)
Por lo tanto, el punto a lo largo de la línea donde el campo es más fuerte es (3.51, 5.27, 2.93).