Suponga que tiene n tipos de elementos y desea seleccionar una colección de r de ellos. Es posible que deseemos estos elementos en algún orden en particular. A estos conjuntos de elementos los llamamos permutaciones. Si el orden no importa, llamamos al conjunto de colecciones combinaciones. Tanto para combinaciones como para permutaciones, puede considerar el caso en el que elija algunos de los n tipos más de una vez, que se llama 'con repetición', o el caso en el que elige cada tipo solo una vez, que se llama 'no repetición'. El objetivo es poder contar el número de combinaciones o permutaciones posibles en una situación determinada.
Pedidos y factoriales
La función factorial se usa a menudo al calcular combinaciones y permutaciones. ¡NORTE! significa N × (N – 1) ×... × 2 × 1. Por ejemplo, ¡5! = 5×4×3×2×1 = 120. El número de formas de ordenar un conjunto de artículos es un factorial. Tome las tres letras a, by c. Tiene tres opciones para la primera letra, dos para la segunda y solo una para la tercera. En otras palabras, un total de 3 × 2 × 1 = 6 pedidos. En general, hay n! formas de pedir n artículos.
Permutaciones con repetición
Suponga que tiene tres habitaciones que va a pintar, y cada una estará pintada en cinco colores: rojo (r), verde (g), azul (b), amarillo (y) o naranja (o). Puedes elegir cada color tantas veces como quieras. Tiene cinco colores para elegir para la primera habitación, cinco para la segunda y cinco para la tercera. Esto da un total de 5 × 5 × 5 = 125 posibilidades. En general, el número de formas de elegir un grupo de r elementos en un orden particular de n opciones repetibles es n ^ r.
Permutaciones sin repetición
Ahora suponga que cada habitación será de un color diferente. Puede elegir entre cinco colores para la primera habitación, cuatro para la segunda y solo tres para la tercera. Esto da 5 × 4 × 3 = 60, que resulta ser 5! / 2!. En general, el número de formas independientes de seleccionar r elementos en un orden particular de n opciones no repetibles es n! / (N – r) !.
Combinaciones sin repetición
A continuación, olvídese de qué habitación es de qué color. Simplemente elija tres colores independientes para la combinación de colores. El orden no importa aquí, entonces (rojo, verde, azul) es el mismo que (rojo, azul, verde). ¡Para cualquier selección de tres colores hay 3! formas en que puede pedirlos. ¡Así que reduce el número de permutaciones en 3! para obtener 5! / (2! × 3!) = 10. En general, puede elegir un grupo de r elementos en cualquier orden de una selección de n opciones no repetibles de n! / [(N – r)! × r!] Formas.
Combinaciones con repetición
Finalmente, necesita crear un esquema de color en el que pueda usar cualquier color tantas veces como desee. Un código de contabilidad inteligente ayuda en esta tarea de conteo. Utilice tres X para representar las habitaciones. Su lista de colores está representada por 'rgbyo'. Mezcle las X en su lista de colores y asocie cada X con el primer color a la izquierda. Por ejemplo, rgXXbyXo significa que la primera habitación es verde, la segunda es verde y la tercera es amarilla. Una X debe tener al menos un color a la izquierda, por lo que hay cinco espacios disponibles para la primera X. Debido a que la lista ahora incluye una X, hay seis espacios disponibles para la segunda X y siete espacios disponibles para la tercera X. En total, hay 5 × 6 × 7 = 7! / 4! formas de escribir el código. Sin embargo, el orden de las habitaciones es arbitrario, por lo que en realidad solo hay 7! / (4! × 3!) Arreglos únicos. En general, puede elegir r elementos en cualquier orden entre n opciones repetibles en (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!] Formas.