La integración de funciones es una de las aplicaciones centrales del cálculo. A veces, esto es sencillo, como en:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
En un ejemplo comparativamente complicado de este tipo, puede usar una versión de la fórmula básica para integrar integrales indefinidas:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
dóndeAyCson constantes.
Así, para este ejemplo,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Integración de funciones básicas de raíz cuadrada
En la superficie, integrar una función de raíz cuadrada es incómodo. Por ejemplo, puede verse obstaculizado por:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Pero puedes expresar una raíz cuadrada como exponente, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Por tanto, la integral se convierte en:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
al que puede aplicar la fórmula habitual de arriba:
\ begin {alineado} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ end {alineado}
Integración de funciones de raíz cuadrada más complejas
A veces, puede tener más de un término bajo el signo radical, como en este ejemplo:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Puedes usartu-Sustitución para proceder. Aquí, tu ponestuigual a la cantidad en el denominador:
u = \ sqrt {x - 3}
Resuelve esto paraXcuadrando ambos lados y restando:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Esto le permite obtener dx en términos detutomando la derivada deX:
dx = (2u) du
Sustituir de nuevo en la integral original da
\ begin {alineado} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {alineado}
Ahora puedes integrar esto usando la fórmula básica y expresandotuen términos deX:
\ begin {alineado} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {alineado}