En geometría, un octágono es un polígono de ocho lados. Un octágono regular tiene ocho lados iguales y ángulos iguales. El octágono regular se reconoce comúnmente por las señales de alto. Un octaedro es un poliedro de ocho lados. Un octaedro regular tiene ocho triángulos con bordes de igual longitud. En efecto, son dos pirámides cuadradas que se encuentran en sus bases.
Fórmula del área del octágono
La fórmula para el área de un octágono regular con lados de longitud "a" es 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, donde "sqrt" indica la raíz cuadrada.
Derivación
Un octágono puede verse como 4 rectángulos, un cuadrado en el centro y cuatro triángulos isósceles en las esquinas.
El cuadrado tiene un área a ^ 2.
Los triángulos tienen lados a, a / sqrt (2) y a / sqrt (2), según el teorema de Pitágoras. Por lo tanto, cada uno tiene un área de ^ 2/4.
Los rectángulos son de área a * a / sqrt (2).
La suma de estas 9 áreas es 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
Fórmula de volumen de octaedro
La fórmula para el volumen de un octaedro regular de lados "a" es ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Derivación
El área de una pirámide de cuatro lados es el área de la base * altura / 3. Por tanto, el área de un octágono regular es 2 * base * altura / 3.
Base = a ^ 2 trivialmente.
Elija dos vértices adyacentes, diga "F" y "C". "O" está en el centro. FOC es un triángulo rectángulo isósceles con base "a", por lo que OC y OF tienen una longitud a / sqrt (2) según el teorema de Pitágoras. Entonces altura = a / sqrt (2).
Entonces, el volumen de un octaedro regular es 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Área de superficie
La superficie del octaedro regular es el área de un triángulo equilátero de lado "a" por 8 caras.
Para usar el teorema de Pitágoras, traza una línea desde el vértice hasta la base. Esto crea dos triángulos rectángulos, con la hipotenusa de longitud "a" y un lado de longitud "a / 2". Por lo tanto, el tercer lado debe ser sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. Entonces, el área de un triángulo equilátero es altura * base / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
Con 8 lados, el área de la superficie de un octaedro regular es 2 * sqrt (3) * a ^ 2.