Dominar los conceptos de seno y coseno es una parte integral de la trigonometría. Pero una vez que tenga estas ideas en su haber, se convertirán en los componentes básicos de otras herramientas útiles en trigonometría y, más tarde, en cálculo. Por ejemplo, la "ley de los cosenos" es una fórmula especial que puedes usar para encontrar el lado faltante de un triángulo si sabes la longitud de los otros dos lados más el ángulo entre ellos, o para encontrar los ángulos de un triángulo cuando conoces los tres lados.
La ley de los cosenos
La ley de los cosenos viene en varias versiones, dependiendo de los ángulos o lados del triángulo con los que esté tratando:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
En cada caso,a, ByCson los lados de un triángulo, yA, B, oCes el ángulo opuesto al lado de la misma letra. EntoncesAes el ángulo del lado opuestoa, Bes el ángulo del lado opuestoB, yCes el ángulo del lado opuesto
C. Esta es la forma de la ecuación que usa si está encontrando la longitud de uno de los lados del triángulo.La ley de los cosenos también se puede reescribir en versiones que faciliten la búsqueda de cualquiera de los tres ángulos del triángulo, asumiendo que conoces las longitudes de los tres lados del triángulo:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Resolviendo un lado
Para usar la ley de los cosenos para resolver el lado de un triángulo, necesitas tres datos: las longitudes de los otros dos lados del triángulo, más el ángulo entre ellos. Elija la versión de la fórmula donde el lado que desea encontrar está a la izquierda de la ecuación y la información que ya tiene está a la derecha. Entonces, si quieres encontrar la longitud del ladoa, usarías la versión
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Sustituye los valores de los dos lados conocidos y el ángulo entre ellos en la fórmula. Si tu triángulo tiene lados conocidosByCque miden 5 unidades y 6 unidades respectivamente, y el ángulo entre ellos mide 60 grados (que también podría expresarse en radianes como π / 3), tendrías:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Use una tabla o su calculadora para buscar el valor del coseno; en este caso, cos (60) = 0.5, lo que le da la ecuación:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0.5
Simplifique el resultado del paso 2. Esto te da:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Lo que a su vez se simplifica a:
a ^ 2 = 31
Saca la raíz cuadrada de ambos lados para terminar de resolvera. Esto te deja con:
a = \ sqrt {31}
Si bien puede usar una tabla o su calculadora para estimar el valor de √31 (es 5.568), a menudo se le permitirá, e incluso se le animará, a dejar la respuesta en su forma radical más precisa.
Resolviendo un ángulo
Puedes aplicar el mismo proceso para encontrar cualquiera de los ángulos del triángulo si conoces sus tres lados. Esta vez, elegirá la versión de la fórmula que coloca el ángulo que falta o "no lo sé" en el lado izquierdo del signo igual. Imagina que quieres encontrar la medida del ángulo C (que, recuerda, se define como el ángulo del lado opuestoC). Usaría esta versión de la fórmula:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Sustituye los valores conocidos (en este tipo de problema, eso significa las longitudes de los tres lados del triángulo) en la ecuación. Como ejemplo, deja que los lados de tu triángulo seana= 3 unidades,B= 4 unidades yC= 25 unidades. Entonces tu ecuación se convierte en:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2-5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Una vez que simplifique la ecuación resultante, tendrá:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
o simplemente porqueC) = 0.
Calcule el coseno inverso o el coseno de arco de 0, a menudo anotado como cos-1(0). O, en otras palabras, ¿qué ángulo tiene un coseno de 0? En realidad, hay dos ángulos que devuelven este valor: 90 grados y 270 grados. Pero, por definición, sabes que todos los ángulos de un triángulo deben tener menos de 180 grados, por lo que solo quedan 90 grados como opción.
Entonces, la medida del ángulo faltante es 90 grados, lo que significa que se trata de un triángulo rectángulo, aunque este método también funciona con triángulos no rectángulos.